Mavzu: nogolonom tizimlarning

2. Nogolonom tizimlarning siklik koordinatalari.
Masalaning qo’yilishi
Konservativ nogolonom tizimlar statsionar xarakatlarini tadbiq etishda Lagranj koordinatalarida tuzilgan xarakat tenglamalaridan xam, kvazikoordinatalarda tuzilgan xarakat tenglamalaridan xam foydalanish mumkin. Biz bu paragrafda Lagranj koordinatalarida tuzilgan ushbu xarakat tenglamalaridan foydalanamiz:


, (8.8.1)
. (8.8.2)

Bu yerda  - Lagranj funksiyasi, T-tizimning kinetik energiyasi, U-kuch funksiyasi (U=-P, P-potensial energiya).

Lagranj koordinatalaridagi xarakat tenglamalaridan foydalanganda, statsionar xarakat sifatida shunday xarakatni tushunamiz: bu xarakatda pozitsion koordinatalar, siklik koordinatalarning tezliklari dastlabki qiymatlarini saqlaydilar, siklik koordinatalarning o’zlari esa, vaqt bo’yicha chiziqli ravishda o’zgaradilar [114].
Golonom tizimlarda Lagranj funksiyasining ifodasiga oshkora ravishda kirmagan koordinatalarga siklik koordinatalar va qolganlariga pozitsion koordinatalar deb aytiladi. siklik koordinatalarga mos kelgan umumlashgan kuchlar nolga teng bo’ladi.
Nogolonom tizimlar uchun siklik koordinatalarning bir necha xil ta’riflari mavjud. Ularni shartli ravishda uch guruxga bo’lish mumkin.
Birinchi guruxga siklik integrallarning mavjudligini ta’minlaydigan ta’riflarni kiritamiz. Ulardan eng umumiyrog’i quyidagidir.
1-ta’rif (A.S.Sumbatov [89]). Agar  koordinatalarning tezligi  bog’lanishlar tenglamasiga kirmasa va Lagranj funksiyasidan bu koordinata bo’yicha olingan xususiy xosilaning bog’lanishlarni xisobga olib topilgan qiymati nolga teng bo’lsa, u vaqtda  ga nogolonom tizimning siklik koordinatasi deb aytiladi.
Demak, siklik koordinata bo’lganda
,
. (8.8.3)

Bu yerda va bundan keyin ifodalar figurali qavsga olingan bo’lsa, bu ifoda (8.8.10)inobatga olib xisoblanganligini bildiradi.

9(33) shartlar bajarilsa, (8.8.1) va (8.8.2) xarakat tenglamalari quyidagi ko’rinishdagi siiklik integralga ega bo’ladilar:


. (8.8.4)

Bu yerda siklik koordinatalar (8.8.4) tenglamalar ifodasiga oshkora ravishda kirishi mumkin (masalan, bu koordinataga bog’liq bo’lishi mumkin bo’lgan bog’lanishlar koeffitsientlari orqali). 1-ta’rif oldin kiritilgan ushbu ta’rifni umumlashtiradi.