Mavzu: nogolonom tizimlarning

2.1.Kichik tebranishlar tenglamasini tuzish. Koeffitsientlar matritsasining xususiyati. Umumiy nazariyani tatbiq etish mumkinligi. Olinadigan natijalarning ma’nosi
Nogolonom tizimlarning muvozanat xolati atrofidagi kichik tebranishlarni o’rganishda kichik tebranishlar nazariyasidagi odatiy yondashishdan foydalanish mumkin. Bu yondashish nogolonom tizimlarga xos bo’lgan xususiyatlarni ochishga imkoniyat yaratadi.
Konfiguratsiyasi  umumlashgan koordinatalar bilan aniqlanadigan tizimning xarakati


(8.2.1)

m (m


(8.2.2)

bu yerda  noma’lum Lagranj ko’paytuvchilari.

(8.2.1) va (8.2.2) tenglamalar n+m ta , noma’lum o’zgaruvchilarni vaqt funksiyasi sifatida aniqlashga imkon yaratadi. nuqta tizimning muvozanat xolati deb faraz qilaylik. (8.2.1) va (8.2.2) tenglamalardan ko’rinib turibdiki, muvozanat xolatida


(8.2.3)

munosabat bajariladi, bu yerda V( ) – tizimning potensial energiyasi. (8.2.3) ga asosan nogolonom tizimlar muvozanat xolatida  miqdor, umuman, nolga teng emas (golonom tizimlarda nolga teng). Demak, V( ) funksiyaning muvozanat xolati atrofidagi qator yoyilmasida chiziqli xadlar xam mavjud bo’ladi:

(8.2.4)
bu yerda
.

T va F funksiyalar larning kichik miqdorlari uchun xuddi golonom tizimlardagiday umumlashgan  tezliklarning o’zgarmas koeffitsientli kvadratik formasi bo’ladilar:

(8.2.5)
bu yerda
.
 xadlarni chiziqlashtirganimizda



xosil bo’ladi, bu yerda
. (8.2.6)


 aniqmas ko’paytuvchilarning tizimning muvozanat xolatidagi qiymatlari.
(8.2.4)-(8.2.6) ifodalarni (8.2.2) ga qo’yib, quyidagini xosil qilamiz


(8.2.7)

(8.2.3) ga asosan . Bu ifodani (8.2.7) ga qo’yganimizda

(8.2.8)

ni xosil qilamiz. Bu tenglamalarga chiziqlashtirilgan nogolonom

(8.2.9)
Bog’lanishlarni qo’shish kerak.
(8.2.8) va (8.2.9) tenglamalar nogolonom tizimlarning  muvozanat xolat atrofidagi kichik tebranishlar tenglamalari deb ataladi. Bular aniqmas n+m ta , o’zgaruvchilarga nisbatan n+m o’zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarni tashkil qiladi.
Bu tenglamalarga

Ko’rinishdagi yechimlarni qo’yganimizda


(8.2.10)

xarakteristik tenglamaga kelamiz, bu yerda

(8.2.10) xarakteristik tenglamaning ko’rinishidan quyidagilar kelib chiqadi:
1) xarakteristik tenglamaning kamida m ta ildizi nolga teng;
2) (8.2.10) tenglama koeffitsientlarining matritsasi simmetrik emas (golonom tizimlarda simmetrik buladi).
Bottema tomonidan birinchi bo’lib aniqlangan xarakteristik tenglamaning bu xususiyatlari nogolonom tizimning o’ziga xos xususiyatlaridan biridir.
Nogolonom tizim kichik tebranishlarini (8.2.8) va (8.2.9) chiziqli differensial tenglamalarga asoslanib tadbiq etish golonom tizim chiziqli differensial tenglamalarini tadbiq etishdan deyarli xech farq qilmaydi. Xuddi golonom tizimlardagi singari vaqt bo’yicha o’sadigan yechimlar mavjud bo’lganda tadqiqotning natijalari faqat chekli vaqt oralig’ida to’g’ri bo’ladi.
Bu ma’noda kichik tebranishlar nazariyasining qoidalari nogolonom tizimlarga butunlayicha yoyiladi. (8.2.8) va (8.2.9) chiziqlashtirilgan tenglamalarning dastlabki nogolonom tizim bilan alokasi masalasiga kelganimizda, bu erda faqat nogolonom tizimga taallukli uziga xos xususiyat borligini ko’ramiz.
Bu o’ziga xos xususiyat nolga teng bo’lgan ildizlarning mavjudligi va xarakteristik tenglama koeffitsientlari matritsasining simmetrik emasligida namoyon bo’ladi (konservativ tizim bo’lganda). Bu yerda xar doimgi kichik tebranishlar nazariyasi pozitsiyasi bilan yondashish turg’unlik masalasiga to’liq javob bermaydi va nolga teng bo’lgan ildizlarning tabiatini ochishga imkoniyat yaratmaydi. Bu masalalar bir-biri bilan chambarchas bog’langanligini ko’ramiz. Nogolonom tizimlar turg’unligi va kichik tebranishlarini batafsil ko’rganimizda nol ildizlarning nafaqat tabiatini tushunishni va balki nogolonom tizimlarning faqat o’ziga xos yana bitta xususiyatini: muvozanat xolatlari ko’p xilligi va statsionar xarakatlarning ko’p xilligi mavjud ekanligini aniqlaymiz.