Mavzu: Natural sonning berilgan asosdagi sistematik ifodasi haqidagi teorema reja kirish I bob. Sanoq sisemalari

2.2- Bir sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemasiga o’tish
Asosi t ga teng bo’lgan sanoq sistemasidan doimo boshqa biror g asosga ega bo’lgan sanoq sistemasiga o’tish mumkin. Buning uchun t sistemali sonni avvalo o’nlik sanoq sistemasidagi songa aylantirib, so’ngra oxirgi sonni g sistemadagi songa aylantirish kerak. O’nlik sistemada berilgan sondan g lik sistemaga (g < 10) o’tish uchun berilgan sonni g ning darajalari bo’yicha yozib olamiz. Shu yoyilmadagi koeffitsientlar (darajalarining pasayishi tartibida olinadi) g asosga nisbatan yozilgan sonning raqamlari bo’ladi.
1-misol. 3287 ni yettilik sistemasida yozing.
Buning uchun quyidagi ketma-keglikni bajaramiz:
3287 = 7∙469 + 4,
469 = 7∙67 + 0,
67 = 7∙9 + 4,
9 = 7∙1 +2.
Demak, 3287 son quyidagi yoyilmaga ega ekan:
3287 = 7(7∙67)+ 4 = 7²∙67 +4 = 7²(7∙9 + 4) + 4 =
=7³∙9 + 7²∙4+ 4= 7³(7 + 2) +7²∙4 + 4 =
= 7⁴∙1+7³∙2 + 4∙7² + 0∙7 + 4∙7° = (12404)₇,
3287 = (12404)₇.
Yuqoridagi ketma-ket bo’lishni quyidagi usulda ham bajarish mumkin:

–3287 28	7
	–469	7
–48 42	42	–67 63	7
	–49		–9 7	7
–67 63	49	4		1

–67 63	49	4		1
	0		2
4

Oxirgi bo’linma va qoldiqlar (eng so’nggi qoldiqdan boshlab) dan tuzilgan son biz izlagan son bo’ladi.
Endi biror t asosli sistemadan o’nlik sistemaga o’tish masalasi bilan shug’ullanamiz (m<10)
berilgan bo’lsin. O’ngdan birinchi xona birligi o’nli sistemada ham o’zgarmaydi, ya’ni a₀= a₀. O’ngdan ikkinchi xonaning bir birligi o’nlik sistemada a₂t² qiymatga, uchinchi xona birligi a₂t² va hokazo, r+1 xona birligi esa a₂t² qiymatga ega. Demak, N_t son o’nlik sistemada quyidagi yoyilma bo’yicha yoziladi:
N_m = a₀ + a₁t +a₂t² + ... + a_rt^r.
Yuqoridagilarga asosan, quyidagi qoidani yoza olamiz:
t asos bo’yicha berilgan sonni o’nlik sistemada yozish uchun o’ngdan ikkinchi raqamdan boshlab har bir sonni shu raqam joylashgan xona qiymatiga ko’paytirib, ularning yig’indisini topish kerak.
2-misol. (25302)₇ sonni o’nlik sistemada yozing. Birinchi xonadagi son 7⁰=1. Demak, 2∙1=2. Ikkinchi xonadagi son 7. Demak, 0∙7 = 0. Uchinchi xonadagi son 7²= 49. Demak, 49∙3 = 147. To’rtinchi xonadagi son 7³= 343. Demak, 343∙5= 1715. Beshinchi xonadagi son 7⁴= 2401. Demak, 2401∙2=4802. U holda 2+0 + 147 + 1715 + 4802 = 6666.
Amaliy mashg’ulotlarda t asosli sistemadan o’nlik sistemaga o’tish uchun yuqoridagi jarayon teskarisidan bajariladi, ya’ni eng yuqori xona byrligi (misolimizda 2) asos birligi (misolimizda 7) ga kupaytirilib, keyingi xona birligiga qo’shiladi, ya’ni 7∙2 + 5 = 19. Hosil bo’lgan natija yana asosga ko’paytirilib, natija keyingi xona birligiga qo’shiladi va hokazo. SHu usulni hozirgi misolga qo’llaylik:
7∙2 + 5=19, 19∙7 + 3 = 136, 136∙7 + 0 = 952, 952∙7 + 2 = 6666.
3-misol. (35201)₆ =x₄ ni bajaring. Boshqacha aytganda oltilik sistemasidan to’rtlik sistemaga o’ting.
Avvalo yuqorida aytib o’tganimizdek, oltilik sistemadan o’nlik sistemaga o’tamiz:
6+5=23,
23∙6+2=140,
140∙6 + 0 = 840,
840∙6+ 1 = 5041.
Endi o’nlik sistemadan to’rtlik sistemaga o’tamiz:

–5041 5	4
	–1260	4
–10 8	12	–315 28	4
	–6		–78 4	4
–24 24	4	–35 32		–19	4
	-20 20		–38 36	16	–4	4
1		3		3	4	1
	0		2		0

Demak, 5041=(1032301)₄ bo’lib, (35201)₆ =(1032301)₄ bo’ladi. Agar berilgan acos 10 dan katta bo’lsa, u holda yangi simvollar kiritishga to’g’ri keladi. Masalan, qaralayoggan asosni 16 desak, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlardan tashqarn (10), (11). (12), (13), (14), (15) simvollar (raqamlar) kiritilib, 0 dan 16 gacha bo’lgan sonlarii 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11), (12), (13), (14), (15), 10 kabi yoza olamiz.
4-misol. (12573)₁₀ ni 16 asos bo’yicha yozing.


Yechish.
12573= 16∙785+13,
785 = 16∙49 + 1,
49 = 16∙3 + 1.
Bu yerda 13 soni berilgan 10 asosdan katta bo’lganligi uchun uni (13) simvol bilan almashtirib, quyidagiga ega bo’lamiz:
(12573)₁₀ = (311(13))₁₆.
Faraz qilaylik biror g asosga nisbatan yozilgan t soni berilgan bo’lsin. Bizdan shu t sonini 10 lik sistemadan foydalanmasdan turib, istalgan k asosga nisbatan yozish talab etilsin.
Avvalo k sonni g asosda yozamiz, keyin quyidagi amallarni bajaramiz:
a) t sonni k ga bo’lib, qoldiq b₀ sonni topamiz, ya’ni t =hq₁ + b₀ dan b₀ topiladi;
b) b₀ qoldiqni k asosga o’tkazamiz va b₀ son k asosli soniing oxirgi raqami bo’ladi;
v) q₁, sonni k songa bo’lib, qoldiq b₁ sonni topamiz, yaьni q₁=hq₂+b₁ dan b₁ topiladi va uni k asosga o’tkazamiz;
g) bu jarayonni bo’linma q_i, son k dan kichik bo’lgancha davom ettiramiz;
d) t sonning k asosli birinchi raqami, oxirgi bo’linma q_i bo’ladi. Undan keyingi raqam oxirgi qoldiq va shu tartibda qoldiqlar olinadi. Bu sonlar t sonning k asosli raqamlari bo’ladi.
Demak, 2724₈ = 1562₁₁.
Biz yuqorida istalgan butun sonni t> 1 natural asos bo’yicha yozish mumkinligini ko’rsatdik. Bu fikr istalgan kasr son uchun ham to’g’ri ekanini bayon qilamiz. Faraz qilaylik, bizga 1309,26 o’nli kasr (10 asosga nisbatan) berilgan bo’lsin. Bu sonni 10 ning darajalari bo’yicha quyidagicha yozib olamiz:
1309,26 = 1∙10³+3∙10²+0∙10¹+9∙10⁰+2∙10^-1+6∙10^-2 Agar qaralayotgan kaer boshqa asos bo’yicha berilgan bo’lsa, u holda uni o’nli asos orqali yozish mumkin.
Masalan,(1254,7632)₈=1∙8³+2∙8²+5∙8¹+4∙8⁰+7∙8^-1+6∙8^-2+3∙8^-3+2∙8^-4 yoyilmada tegishli amallar bajarilsa, hosil bo’lgan son 10 asosga nisbatan yozilgan bo’ladi.
O’z-o’zidan ma’lumki kasr sonlarning barchasi ham chekli o’nli kasr shaklida yozilavermaydi. Bu hol istalgan sanoq sistemasi uchun ham o’rinli.
Lekin yana shunday hol yuz berishi mumkinki, bir sanoq sistemasida chekli yoyilmaga ega bo’lgan ratsional son boshqa sanoq sistemasida cheksiz davriy kasrga yoyilishi mumkin va aksincha. Masalan, _{ } soni o’nlik sistemada 0,333. , . kabi cheksiz davriy o’nli kasrga yoyilsa, oltilik sanoq sistemada chekli bo’ladi, ya’ni =0∙6 + 2∙6^-1 = (0,2)₆. Xuddi shunday =0,1 bo’lgani holda = =(0,0333. . .)₆ bo’ladi.
Umuman aytganda yuqoridagilarga asosan istalgan ratsional M sonini t asos bo’yicha quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
M_t=(a_k a_k-1… a₀, a_-1 a_-2 ... a_-s)_m
Bunda a_k a_k-1… a₀ lar M sonining butun qismini, a_-1 a_-2 ... a_-s lar esa uning kasr qismini ifodalaydi.