Mavzu: Natural sonning berilgan asosdagi sistematik ifodasi haqidagi teorema reja kirish I bob. Sanoq sisemalari

2.1-§. Sistematik sonlar ustida amallar
Sistematik sonlar ustida ba’zi bir amallarni bajarishdan oldin, ularni quyidagicha yozib olamiz:
(1) Demak, biror nomerdan boshlab barcha a_i lar nolga teng ekan. SHundan so’ng istalgan natural sonni bir qancha ko’rinishda yozish mumkin. Masalan,
111 = 0111=00111 = ... sonlarning barchasi ikkilik sanoq sistemasida o’zaro tengdir.
Endi t lik sanoq sistemasida berilgan ikkita sonni qo’shish amali ustida to’xtab o’tamiz.
(2)
bo’lganda s=a+b ni t lik sanoq sistemasida qanday ko’rinishda yozish mumkinligi bilan shug’ullanamiz.
(3) va (4)

bo’lgani uchun

(5)
bo’ladi. Ikkinchidan har qanday s sonning t ning darajali bo’yicha
(6)
kabi yoyilmasi mavjud va yagonadir.
Biz bitta s son uchun (5) va (6) kabi ikki xil yoyilmaga ega bo’ldik. Bu ikki yoyilma umuman ustma-ust tushmay qolishi mumkin. Boshqacha qilib aytganda, quyidagi ikki hol yuz beradi:

1. 
   
   
2. 
   
   

bo’ladi, bu yerda d_k son a_k+b_k ni t ga bo’lgandagi qoldik. Demak, ikkinchi holda s_k koeffitsient uchun a_k+b_k yig’indini t ga bo’lgandagi qoldiq olinar ekan. Bunday holda a_k+b_k = d_k +t tenglik o’rinli bo’lganidan (5) yoyilmadagi k va k+1 hadlar quyidagicha bo’ladi:



Lekin a_k+1 va b_k+1 lar c_k+1 koeffitsientni aniqlovchi qo’shiluvchilardir. Boshqacha aytganda, a_k+b_kt bo’lsa, k+1 koeffitsientga 1 birlik qo’shilar ekan. Yuqoridagilarni umumlashtirib, quyidagi teoremani yozamiz:
TEOREMA. m lik sanoq sistemasada (3) va (4) yoyilmalar orqali berilgan a va b sonlar
(7)
yig’indisining koeffitsientlari quyidagi rekurrent formulalar yordamida aniqlanadi: agar a₀+ b₀bo’lsa, ε₀=0 aks holda ε₀= 1 deymiz. ε_i=0a_i-1 +b_i-1+ε_i-1 m shartlarda ε₁ ni aniqlaymiz.
Agar
(8)
bo’lsa, u holda s_i= a_i+b_i+ε_i bo’ladi; agar
(9)
bo’lsa, u holda s_i=d_i a_i+b_i+ε_i–m ( ) bo’ladi.
Isbotni i ning induksiyasi asosida olib boramiz. i= 0 da (5) yoyilmadagi
a₀ +b₀ uchun quyidagi ikkita hol bo’ladi:
a) a₀ +b₀ bo’lsa, u holda c₀ = a₀ +b₀ bo’ladi;
b) a₀ +b₀t bo’lsa, a₀ +b₀= s₀ + m bo’lgani uchun s₁ koeffisentga 1 qo’shiladi. Demak, i = 0 da (8) va (9) shartlar o’rinli. Faraz qilaylik bu rekurrent formulalar c_i-1 koeffisent uchun o’rinli bo’lsin. U holda i koeffitsient a_i+b_i+ε_i ga teng bo’lib, bu yerda yoki shartga qarab bo’ladi.
1-misol. Beshlik sanoq sistemasida (342)₅ va (134)₅ sonlarning yig’indisini toping. Amaliy mashg’ulotlarda biror t asos bo’yicha sonni qo’shish uchun jadval tuzib olinadi. t = 5 bo’lganda bu jadvalning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

“+”	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

ya’ni 1 + 1 = 2, 1+2 = 3, 1+3=4, 1+4 =10 (0 +1∙5), 3+1=4, 3 + 2 = 10, 3 + 3 = 11 (1 + 1∙5), 4 + 4=13 (chunki 8₁₀ = 3∙5⁰ + 1∙5). Demak, (342)₅+(134)₅= (1031)₅

Ayirish amali bir xonali sonlarni ayirish, qo’shish jadvaliga asosan bajariladi. Ko’p xonali sonlarni ayirish esa t= 10 bo’lgan holdagi sonlarni ayirishga o’xshaydi. Agar kamayuvchining biror xona birligi ayriluvchining tegishli xona birligidan kichik bo’lsa, kamayuvchidan bitta chapdagi xonaning bir birligi, ya’ni t undan o’ngda joylashgan xona raqamiga ko’shilib, so’ngra ayirish amali bajariladi. Masalan, (5321)₇–(2651)₇ ni bajaring. Avvalo o’ngdagi birinchi xonadagi sonlar teng bo’lgani uchun 1–1=0. Endi ikkinchi xonasiga o’tamiz. Lekin 2<5. Shuning uchun o’ngdan uchinchi xonaning asosga teng bo’lgan bitta birligini ikkinchi xonadagi songa qo’shamiz (7 + 2 = 9). Shundan so’ng 9–5 = 4. Endi uchinchi xonada 2 qoldi, lekin 2<6 bo’lgani uchun o’ngdan to’rtinchi xonaning bitta birligini uchinchi xona soniga qo’shamiz (7+2=9). SHundan so’ng 9–6 = 3 va nihoyat 4–2=2. Demak, (5321)₇–(2651)₇=(2340)₇. Haqiqatan, (2651)₇+(2340)₇=(5321)₇
Ko’paytirish. Ixtiyoriy a natural sonni t lik sanoq sistemasida (1) kabi yoyilmasiga yoyib olgach, ularni ko’paytirish o’rta maktabda uchragan ko’phadni ko’phadga ko’paytirishdagi kabi bajariladi.
Agar koeffisentlarni ko’paytirish paytida ko’paytma sanoq sistemasining asosidan katta bo’lsa, u holda ko’paytmani asosga bo’lib ko’paytma o’rniga qoldiq olinadi va u bo’linma shu sondan keyin keladigan xona raqamiga qo’shiladi.
Ko’paytirish amali ham asosan jadval yordamida bajariladi. Masalan, asos g=6 bo’lganda ko’paytirish jadvali quyidagicha bo’ladi:

“∙”	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	10	12	14
3	0	3	10	13	20	23
4	0	4	12	20	24	32
5	0	5	14	23	32	41

Bu jadvaldan foydalanib (352)₆∙(245)₆ ko’paytmani topaylik:

(352)6 ­­ (245)6

(3124)6 (2332)6 (1144)6

(145244)6

Istalgan sistemada yozilgan sonlarni bo’lish, xuddi t =10 bo’lgan holdagi bo’lishdek bajariladi.
O’rta maktab, akademik litsey, kasb-xunar kollejlari matematikasidagi barcha xisoblashlar unlik sanok sistemasi asosida urganiladi.
Unlik sanok sistemasidan boshka 2, 5, 7, 12, 60, ... sanok sistemalari xam mavjud. Bu sanok sistemalarining barchasi bitta umumiy yunalish asosida kuriladi va kuyidagi teorema urinli:

Teorema. m>1 natural son bulib, Mq{0, 1, 2, ..., m-1} tuplam berilganda xar kanday a natural son uchun ushbu aqa0Qa1mQa2m2Q...Qanmnqa0m0Qa1m1Q...Qanmn (aiM,iq ,an0) (1)

yoyilma mavjud va yagonadir.
Teoremaning isboti [1, 2] da berilgan.
Ta’rif. a natural sonning (1) kurinishi a ni m ning darajalari buyicha yoyish deyiladi.
mq10 bulsin. U xolda
mqan10nQan-110n-1Q...Qa1*10Qa0 (0ai9, iq , 1an 9) (2)
buladi.
(2) ni kiskacha mq kurinishda xam yoziladi.
Misol. 27346q20000Q7000Q300Q40Q6q2*104Q7'*103Q
Q3*10Q4.10Q6.
Agar g*2 ixtiyoriy natural son bulsa, xar kanday m natural son uchun yukoridagi teoremaga kura ushbu
mqangnQan-1gn-1Q...Qa1gQa0 (0aig-1,Iq ,1ang-1) (3)
tenglikni yoza olamiz. (3) da a0,a1,... ,an lar m sonning rakamlari deyiladi. (3) ni kiskacha
mq (4)
kurinishida yozish mumkin.
Ta’rif. (3) kurinishidagi son asosi g ga teng bulgan sistematik son deyiladi (bunday sondagi turli rakamlarning soni g ga teng).
(5)
(6)
sonlarni kushish amalini karaylik.
cqaQb ni g lik sanok sistemasida yozaylik.
aqa0Qa1gQa2g2Q...QargrQ... (7) bqb0Qb1gQb2g2Q....QbrgrQ ... (8)
bulgani uchun
cq(a0Qb0)Q(a1Qb1)gQ(a2Qb2)g2Q...Q(aiQbi)giQ(aiQ1QbiQ1)*
*giQ1Q...Q(arQbr)grQ...
buladi. Ikkinchidan ixtiyoriy s sonning g ning darajalari buyicha
cqc0Qc1gQc2 g2Q...QcrgrQ... (10)
kabi yoyilmasi mavjud va yagona.
(9) va (10) dan kurinadiki, s son ikki xil yoyilmaga ega ekanligi. Bu ikki yoyilma umuman ustma-ust tushmay kolishi xam mumkin. Boshkacha aytganda kuyidagi ikki xol bulishi mumkin:
1. (aiQbi< g) q> (aiQbiqci) (iq0,1,2,...).
2. (akQbkg)q>(ckqdk).
Bu erda dk^son akQbk ni g ga bulgandagi koldik. Demak, ikkinchi xolda sk koeffitsient uchun akQbk yi²indini g ga bulgandagi koldik, olinar ekan. Bu xolda akQbkqdkQg tenglik urinli bulganidan (9) yoyilmadagi k va kQ1 xadlar kuyidagicha buladi:
(akQbk)gkQ(akQ1QbkQ1)gkQ1q(dkQg)gkQ(akQ1QbkQ1)gkQ1q
qdkgkQ(akQ1QbkQ1Q1)gkQ1.
Lekin akQ1 va bkQ1 lar skQ1 koeffitsientni aniklovchilardir. Boshkacha aytganda, akQbk*g bulsa, kQ1 koeffitsientga 1 birlik kushilar ekan.
Misol. 3425 va 1345 sonlarning yi²indisini toping.
1Q1q2, 1Q2q3, 1Q3q4, 1Q4q10 (0Q1*5), 3Q1q4, 3Q2q10, 3Q3q11 (1Q1*5), 4Q4q13 (810q3*50Q1*5) bulgani uchun 3425Q1345q10315, buladi.
Ayirish amali bir xonali sonlarni ayirish, kushish amali asosida bajariladi.
g asosli ixtiyoriy a va b sonlarni kupaytirish kupxadni kupxadga kupaytirish kabi bajariladi.
Istalgan sistemada yozilgan sonlarni bulish xuddi gq10 bulgan xoldagi bulishdek bajariladi.
Bizga g asosda yozilgan m soni berilgan bulsin, ya’ni mq bulsin. Shu sonni boshka h asosli sistemada yozaylik. Aytaylik bu son h asosli sistemada mq kurinishda yozilgan bulsin.
mqangnQan-1gn-1Q...Qa1gQa0,
mqbpgpQbp-1gp-1Q...Qb1gQb0.
Maksadimiz b0, b1,b2,...,bp rakamlarni topish. Buning uchun avvalo h ni g acocda yozib olamiz. U xolda
mq(bphp-1Qbp-1hp-2Q...Qb1)hQb0qq1hQb0 ,
mqq1hQb0 (0b0q1q(bphp-2Qbp-1hp-3Q...Qb2)hQb1qq2hQb1,
q1qq2hQb1(0b1Shu jarayonni davom ettirib, eng sungida qpqqpQ1hQbp (0bpMisol. 37248 sonni 11 lik sistemada yozing.
Echish. gq8, hqll. Avvalo 11 ni 8 asosda llq138 kurinihda yozib olamiz. Keyin kuyidagilarni bajaramiz:
Demak, 37248q156211 bo’lar ekan.