Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

2.Ibn Sinoning fizika va matematika fanlariga doir asarlari.
Entsiklopedist olim ibn Sinoning ko`p asarlarida, shu jumladan «Ash - shifo» va
«Donishnoma» asarlarida fizika va matematika fanlariga bag`ishlangan maxsus bo`limlar bor. Bu
bo`limlarda fizika, geometriya, astronomiya, arifmetika va muzika nazariyasiga doir masalalar
bayon etilgan.

---

32
Mashhur olim ibn Sino o`zining ilg`or va olijanob g`oyalarini ommaga etkazib, xalq uchun
qo`lidan kelganicha ko`proq asarlar yaratish, o`z asarlari orqali yosh avlodga fan asoslarini
o`rgatish va o`qitishni asosiy maqsad qilib oldi. SHuning uchun ham olimning «Ash - shifo» va
«Donishnoma» asarlarida «kvadrivium»ga katta ahamiyat berilgan va bu bo`limlar, o`quvchilarga
tushunarli bo`lishi uchun, sodda tilda bayon etilgan.
Ibn Sino o`z «kvadrivium»ini yozishda mashhur yunon klassik olimlari Evklidning (eramizdan
ilgarigi III asr )  «negizlar», Ptolomeyning (II asr)  “Almagest”,  “Garmoniya haqidagi ta`limot”
asarlari va Nikomaxning (I asr)  “Arifmetikaga kirish”, shuningdek Forobiyning (873 - 950)
“Muzika to`g`risida katta kitob” asarlarini asos qilib oldi.
“Ash - shifo” asarida “kvadrivium”, ya`ni matematikaga doir bo`limlar:  “Qisqartirilgan
Evklid”,  “Qisqartirilgan Almagest”,  “Sonlar fani”,  “Muzika fani” deb atalgan. Masalan,  “Sonlar
fani”, bo`limida 9 soni yordamida sonlarning kvadratga va kubga ko`tarish amallarining to`g`riligini
tekshirish haqida quyidagicha qoidalar berilgan:
1. Kvadrat sonlarning birliklari raqami hamma vaqt 1,4,9,6 va 5 sonlaridan iborat bo`ladi deb
ta`kidlaydi. So`ngra u yozadi: Kvadratlarni hindlar usuli bilan tekshirishga
kelganda bu 1 yoki 4, yoki 7 yoki 9 bo`lishi zarur. Negaki 1 ga mos 1 yoki 8,
4 ga mos 2 yoki 7, 7 ga mos 4 yoki 5 va agar 9 bo`lsa unga 3 yoki 6, yoki 9
mos bo`ladi. Bu qoidani quyidagicha tushuntirish mumkin: agar shunday son
berilsaki, uni 9 ga bo`lganda qoldiq 1 yoki 8 bo`lsa, u vaqtda bu sonning
kvadratini 9 ga bo`lganda qoldiq bir bo`ladi. Agar sonni 9 ga bo`lganda
qoldiq 2 yoki 7 bo`lsa, u vaqtda bu sonning kvadratini 9 ga bo`lganda qoldiq
4 chiqadi. Agar sonni 9 ga bo`lganda qoldiq 4 yoki 5 bo`lsa, u vaqtda bu
sonning kvadratini 9 ga bo`lganda qoldiq 7 bo`ladi. Agar sonni 9 ga
bo`lganda qoldiq 3, 6, 9 bo`lsa, u vaqtda bu sonning kvadratini 9 ga
bo`lganda qoldiq 9 bo`ladi.
Masalan: 1). 73 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 1 bo`ladi, uning kvadrati 73² q 5329 sonini 9 ga
bo`lganda qoldiq 1 bo`ladi. 2).85 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 4 bo`lsa, uning kvadrati 85² q 7225
sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 7 bo`ladi.
2.Kublarning xossalaridan biri shundan iboratki, hind usuli orqali ularni tekshirish, ya`ni ularni
hisoblash uchun qo`llaniladigan tekshirish:  1,  8 yoki 9 sonlari bo`ladi. Agar bu 1 bo`lsa, kubga
ko`tariladigan sonning birliklari raqami 1 yoki 4 yoki 7. Agar bu 8 bo`lsa, bu sonlar 8 yoki 2 yoki 5
bo`ladi. Agar 9 bo`lsa, kubga ko`tariladigan sonning birliklari raqami 3 yoki 6 yoki 9 bo`ladi.
Bu qoidani quyidagicha tushuntirish mumkin: agar sonni 9 ga bo`lganda qoldiq 1,4 yoki 7
bo`lsa, u vaqtda bu son kubini 9 ga bo`lganda, qoldiq 1 bo`ladi.Agar sonni 9 ga bo`lganda qoldiq
2,5 yoki 8 bo`lsa, u vaqtda bu sonning kubini 9 ga bo`lganda qoldiq 8 bo`ladi va agar sonni 9 ga
bo`lganda, qoldiq 3,6 yoki 9 bo`lsa, u vaqtda bu son kubini 9 ga bo`lganda qoldiq 9 bo`ladi.
Masalan: 1)25 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 7 bo`ladi, uning kubi 25³q 15625 sonini 9 ga bo`lganda
qoldiq 1 bo`ladi.
2)  55 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq bir bo`ladi. Uning kubi 55³ q 166375 sonini to`qqizga
bo`lganda qoldiq 1 bo`ladi.
Ibn Sino tomonidan berilgan bu qoidalar shuni ko`rsatadiki, arifmetik amallarni, sonlarni
kvadratga va kubga ko`tarishning to`g`riligini 9 soni bilan tekshirish (mezon olish) O`rta Osiyo
matematikalariga ma`lum bo`lgan. Keyinchalik bu qoidalar O`rta Osiyo matematiklari asarlari
orqali G`arb mamlakatlariga tarqaldi.
Ibn Sino tomonidan berilgan sonlarni kvadratga va kubga ko`tarishning to`g`riligini 9 soni
orqali tekshirish qoidalari, hozirgi vaqtda sonlar nazariyasi fanidagi kvadratik va kubik chegirmalar
nazariyasiga tegishliki, ular taqqoslash vositasida echiladi. Bu qoidalarni hozirgi vaqtda, 9 moduli
bo`yicha taqqoslash shaklida quyidagicha yozish mumkin:
(9n±1)²≡ 1
(9n±2)²≡ 4
(9n±3)²≡ (9n

9) ≡ 9

---

33
(9n±4)²≡ 7
(9n±1)³≡ (9n

4)³ ≡ (9n

7)³ ≡ 1
SHunga o`xshash
(9n±8)³ ≡ (9n

2)³≡ (9n

5)³ ≡ 8
(9n±3)³≡ (9n

6)³ ≡ (9n

9)³ ≡ 9
YUqorida aytilgan arifmetikaga bag`ishlangan «sonlar fani» bo`limi 43 ta`rif va 201
jumlalarni o`z ichiga oladi. Nikomaxning «Arifmetikaga kirish» kitobi asosida yozilgan bu
bo`limda natural sonlar, ularning xossalari,  «shaklli sonlar» va boshqa arifmetik masalalar bayon
etilgan.
Bular orasida quyidagi muxim ahamiyatga ega jumla bayon etilgan:
Berilgan biror son kubga kutarilganda xosil bo`lgan sonning oxirgi raqami biror son bo`lsin, u
vaqtda bu son kubining oxirgi raqami berilgan son oxirgi raqamiga teng bo`ladi.
Hozirgi belgilashlarga asosan, bu xossani shunday ifodalash mumkin: Agar N q an  10ⁿ Q
an_1  10ˉ¹Q an q an  (mod  10) son berilgan bo`lsa, bu sonning kubi
N
³ ning oxirgi raqami “b”
bo`lsin. U vaqtda
N
³q
b
(mod 10) bo`ladi. Demak,
b
³q
a0
(mod 10).
Masalan :         12 q 10 Q 2 q 2 (mod 10)
12³q 1728 q 8 (mod 10)
bunda 8³q 512 ≡ 2 (mod 10) bo`ladi.
Bu bo`limda, yana shunday jumla keltirilganki, bu Nikomax asarida keltirilmagan. “Kubdan
qirra ayrilsa, bu 6 karrali son bo`ladi”. YA`ni, umumiy holda (n³— n) shaklidagi son 6 ga bo`linadi.
Masalan:   n ═ 3 bo`lsa, 3³- 3 q 24q 4·6:
n ═ 4 bo`lsa, 4³- 4 q 64-4q60q10·6:
n ═ 8 bo`lsa, 8³- 8 q 512-8q504q84·6:
n ═ 12 bo`lsa, 12³- 12 q 1728-12q1716q286·6:
“Ash - shifo” asarida geometriya “qisqartirilgan Evklid” nomli bo`limda bayon  etilgan.
Planimetriyaga doir bo`lim 58 ta`rif,  7 postulat,  5 aksioma va 169 jumla (teorema)dan iborat.
Stereometriyaga doir bo`limda esata`rif va 86 jumla (teorema) bayon etilgan.
Bu bo`limlarni o`rganish va ularni Evklidning “Negizlar” kitobi bilan solishtirish sohasida
olimlar tomonidan olib borilgan tekshirishlar shuni ko`rsatadiki, Ibn Sino kup hollarda masalalarni
qisqa va sodda holda bayon  etishga intilgan. Ko`p tushunchalarni konkret misollar bilan
tushintiradi, ba`zi jumlalar uchun o`z isbotlarini bayon etadi.