Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

Har
qanday
uchburchakda
ichki
burchaklar yig`indisi 2  d ga teng.
Masalan: AVS
uchburchakda A,V va S burchaklarning yig`indisi 2  d
bo`ladi.
Haqiqatan ham deb yozadi ibn Sino, S nuqtadan AV ga parallel to`g`ri chiziq o`tkazamiz. Buni
yasash oson, ya`ni V burchakka teng burchak yasaymiz. Bu V burchakni VS bo`ylab suramiz, u
vaqtda burchakning ikkinchi SE
tomoniga parallel bo`ladi. SE chiziq ASD burchakni ikkiga
bo`ladi. ASE burchagi SAV burchagiga va ESD burchagi AVS burchagigi teng bo`ladi. Demak,
ASD burchak, A va V burchaklari yig`indisiga teng. Lekin SAD va ASV burchaklarning yig`indisi
2 d bo`ladi. SHu sababli uchburchakda uchta ichki burchaklar yig`indisi 2 d ga teng.

---

35
So`ngra ibn Sino ikki tomoni va ular orasidagi burchaklari mos ravishda teng bulgan ikki
uchburchakning teng  ekanligini isbotlaydi. Uchta tomonlari mos ravishda teng bulgan ikkita
uchburchakning tengligi, teng yonli uchburchaklarda asosdagi burchaklarning tengligi, har qanday
uchburchakda katta tomon qarshisida katta burchak yotadi va, aksincha, katta burchakning katta
tomonga
tiralganligi haqida teoremalarning isbotlarini bayon etadi.
4.TSirkul’ va chizg`ich yordamida yasashga doir masalalarga bag`ishlangan bob.
Bu bobni bayon  etishdan oldin, shuni qayd qilish kerakki, ibn Sino o`zining geometrik
mulohazalariga tsirkuldan geometrik asbob sifatida foydalanadi, ya`ni tsirkulni geometrik yasash
uchun amalda tatbiq etadi. Ammo Evklid «Negizlar» asarila, tsirkul’ haqida hech narsa yozmaydi.
Uning hamma geometrik yasashlari ideal tsirkul’ va chizg`ich yordamida bajarilgan bulishiga
qaramasdan, u bu geometrik asboblarni amalda tatbiq etmaydi. Evklid o`z yasashlarida tsirkul’ va
chizg`ichdan deyarli foydalanmaydi.
Bu bobda ibn Sino uchta geometrik masalani tsirkul’ va chizg`ich yordamida yasashni
kursatadi (
4-shakl)
1)AV chiziqda yotgan S nuqtadan, bu chiziqqa perpendikulyar chiqarish.
YAsalishi: AV chiziqda S nuqtadan, uning
har ikki tomonida uzoro teng SD va CE kesmalar
ajratamiz:
D ni markaz qilib, tsirkul’ yordamida DE radiusli
aylana yoyini chizamiz. Xuddi shunday E nuqtani
markaz
qilib,
ED
radiusli
aylana
yoyini
chizamiz.Bu
yoylar
G
nuqtada
kesishadi.G
nuqtadan chizg`ich yordamida GD,  GE    GS
chiziqlarini o`tkazamiz.
Biz aytamizki, izlangan perpendikulyar GS
chizig`i bo`ladi. Haqiqatan ham, yasashga ko`ra,
GDE uchburchakning tomonlari o`zoro teng. GSD va GEC uchburchaklarning tomonlari ham mos
ravishda teng bo`ladi. SHuning uchun ESG va DCG burchaklar teng. Demak,  GC chiziq AV
chiziqqa perpendikulyar bo`ladi.
«Negizlar» asari birinchi kitobning 11- jumlasida bu masala bayon  etilgan bo`lib, Evklid
shunday yasashlar o`tkazadi: AS chizig`ida ixtiyoriy E nuqta oladi, so`ngra SE ga teng SD kesma
ajratadi.  DE kesmada teng tomonli uchburchak yasaydi. So`ngra uning
G uchini S bilan
tutashtiradi.  GS kesma izlangan perpendikulyar bo`ladi. Evklid ham yasash kerak bo`lgan kesma,
haqiqatan GS  ekanligini, ikki uchburchakning tengligidan,  GCE va GCD burchaklarninng teng
ekanligini asoslaydi. Bu yasashlar shuni ko`rsatadiki, ibn Sinoning metodi Evklidnikidan bir oz farq
qiladi. Ibn Sino yasash jarayonida tsirkul va chizg`ichdan to`g`ridan-to`g`ri va kengt ravishda
foydalanadi.
2) AV chiziqning tashqarisida yotgan S nuqtadan AV chiziqqa perpendikulyar tushirish.
YAsalishi: AV chiziqning ikki tomonida ixtiyoriy D nuqtani belgilaymiz:
S nuqtani markaz qilib, SD radiusli aylana
chizamiz. Bu aylana AV chiziqni E va G
nuqtalarda kesadi. EG kesmani N nuqtada teng
ikkiga bo`lamiz. SN chiziqni o`tkazamiz. Biz
aytamiz, SN izlangan perpendikulyar chiziq
bo`ladi. Haqiqatan ham SE va SG chiziqlarni
o`tkazib,
hosil
bo`lgan
uchburchaklarning
tengligidan,
SN
ning
AV
ga
perpendikulyarligini ko`rsatish mumkin.
3) AVS burchakni teng ikkiga bo`lish:

---

36
YAasalishi: tsirkul yordamida VS va VA chiziqlarda o`zaro teng VE va VD kesmalarni ajratamiz. E
va D nuqtalarni tutashtiramiz.  ED kesmani G nuqtada teng ikkiga bo`lamiz. Hosil bo`lgan
uchburchaklarning tengligidan EVG va DBG burchaklarning tengligi kelib chiqadi. Demak,  BG
chizig`i AVS burchagini teng ikkiga bo`ladi.
5.To`rtburchaklar, ularda joylashgan uchburchaklar va ularning munosabatlariga doir asosiy
geometrik masalalar to`g`risidagi bob.
Bu
bobda
uchburchaklar,
to`rtburchaklar,
to`g`ri
burchakli
uchburchaklar,
parallelogrammlarning xossalari bayon  etilgan. Uchburchak va to`rtburchaklarning o`zaro
munosabatlari va ularning xossalarini ifodalovchi oltita teorema va ularning isbotlari bayon etilgan.
Masalan: ulardan ba`zilari quyidagilardan iborat:
Teorema 1. Agar qarama qarshi tomonlari o`zoro teng va parallel bulgan tekis shakl berilgan
bo`lsa, uning diagonali bu shaklni teng ikkiga
bo`ladi.
Teorema 2. O`zoro parallel ikki chiziq
orasiga joylashgan, umumiy asosga  ega va
qarama
-
qarshi
tomonlari
parallel
bo`lgan
shakllar tengdosh bo`ladi (ya`ni ularning yuzlari teng). Masalan: asoslari SD bo`lgan AVSD va
EGCD tekis shakllar o`zoro tengdosh bo`ladi.
Teorema 3. O`zoro parallel chiziqlar orasiga joylashgan va umumiy asosga  ega bo`lgan
uchburchaklar tengdosh bo`ladi. Masalan SD asosga  ega bo`lgan. ASD va GCD uchburchaklar
tengdosh bo`ladi.
Teorema 4. O`zoro parallel chiziqlar orasiga joylashgan va asoslari teng bo`lgan
to`rtburchaklar tengdosh bo`ladi. Masalan AVSD va GTHF turtburchaklar tengdoshdir: