Mavzu: integral tenglamalarni sonli yechish

2-misol. Kollokatsiya usuli yordamida
(45)
tenglamani yeching.
Yechish. Y(x) ni quyidagi

ko'rinishda izlaymiz. Bu ifodani (45) ga qo’yib, ushbu

tafovutni hosil qilamiz.
Kollokatsiya nuqtalarini x1  0, x2 1 deb tanlab,

ekanligini hisobga olsak, c1 va c2 lar uchun ushbu

tenglamalar sistemasiga kelamiz. Bu yerdan c2  0, c1  1. Shunday qilib,
U  1.
ekan. Bu topilgan taqribiy yechim (45) tenglamaning aniq yechimi
bo’lishini tekshirish qiyin emas.

3. 
   «Aynigan» yadroli Fredgolm tenglamalari
   
   1. 
      Bir argumentli funksiya uchun
      

Bu yerda Fredgolm tenglamasining xususiy bir holini ko’ramiz. Faraz qilaylik, Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi:
(46)
berilgan. Agar bu tenglamada ishtirok etayotgan yadroni ushbu
(47)
ko’rinishda yozish mumkin bo„lsa, bunday yadro aynigan yadro deb yuritiladi. Bu holda (46) integral tenglamani chiziqli algebraic tenglamalar sistemasiga keltirib yechish mumkin. Qisqaroq bayon qilish maqsadida n  3 deb olaylik. U holda (47)
ifodani (46) ifodaga qo’yib,

tenglamani hosil qilamiz; uni esa quyidagicha yozish mumkin:
(48)
O’ng tomondagi aniq integrallar o’zgarmas sonlardan iborat bo’lib, ularni quyidagicha belgilab olamiz:
(49)
Bu integraldagi u (t) funksiya noma’lum bo’lgani sababli, Q1, Q2 va Q3 lar
ham noma’lum sonlar bo’lib, ularni topish talab qilinadi. Shu maqsad bilan (49) ni (48) ga qo'yamiz:
(50)
Mana shu ifoda yordami bilan (49) tenglamalarning birinchisini o’zgartiramiz:
(51)
O’ng tomondagi aniq integrallar o’zgarmas sonlar bo’ladi, ularni quyidagicha belgilab olamiz:

U holda (51) tenglik

ko’rinishga keladi. Bundagi Q1, Q2 va Q3 noma’lum sonlarni o’z ichiga
oluvchi hadlarni tenglik ishorasining bir tomoniga o’tkazsak,

uch noma’lumli chizikli algebraik tenglama hosil bo’ladi. Mana shunga o’xshash yana ikkita algebraik tenglamani keltirib chiqarish uchun (49) tenglamaning ikkinchi va uchinchisiga murojaat qilamiz:

Bundagi integrallarni quyidagicha belgilaylik:

U holda

yoki

hosil bo’ladi. Xuddi shuningdek, (49) dan

Buni ham yuqoridagilardagi kabi o’zgartirsak ushbu

natija hosil bo'ladi; bunda

Shunday qilib, biz Q larga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qildik:
(52)
Bu sistemadagi A lar va  lar ma‟lum sonlardir, chunki ularga mos
integrallar ishorasi ostidagi funksiyalar masalada berilgan bo’ladi. Endi (52) sistemani oliy algebradagi Kramer formulalari yordamida yechamiz:
(53)
Bu formulalarda
(54)
Ma’lumki D1 ni topish uchun (54) determinantda birinchi ustun elementlari o’rniga (52) dagi A1, A2, A3, ozod hadlarni qo’yish kerak. D2 va D3 lar ham shu usulda topiladi. Shuni ta’kidlab o’tishimiz zarurki, (52) sistamadagi A1, A2 va A3, larning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda, (54) determinant noldan farqli bo’lishi shart. Demak,  parametrning D determinantni nolga aylantirmaydigan hamma qiymatlari uchun (47) ko’rinishdagi yadroli Fredgolm tenglamalarini shu usulda yechish mumkin ekan. Shubhasiz, bu masalada ishtirok etayotgan barcha integrallar mavjud deb faraz qilinadi.

2.