Mavzu: integral tenglamalarni sonli yechish

Teorema. Agar f(x) funksiya I kesmada noldan farqli, uzluksiz bo‘lib, ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda

tenglama I kesmada absolyut va tekis yaqinlashuvchi (14) qatordan iborat faqat birgina yechimga ega bo‘ladi.
1-misol. Ushbu tenglamani yeching.

Yechish. (15) ga asosan:

Qavslarni ochib, so’ngra integrallarni hisoblasak

kelib chiqadi. Bunga muvofiq

va hokazo. Bularni (14) qatorga qo’yib soddalashtirilsa

yechim hosil bo’ladi. Ushbu

tenglikni qabul qilib, biz (13) tenglamaning xatoligini quyidagicha baholashimiz mumkin:
(18)
Ana shu shart bajarilganda (14) formula =0 nuqtaning atrofida (13) Fredgolm tenglamasining  bo’yicha analitik yechimini beradi. (15) formuladan kelib chiqadiki, (14) yechimni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

yoki
(19)
ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda
(20)
koeffitsiyentlar iteratsiyalangan yadrolar deb atalib, ularni quyidagi formulalar yordamida ketma-ket topish mumkin:

Rx,s, funksiyaga (13) tenglamaning rezolventasi deyilib, u kichik  larda (20) ko’rinishidagi darajali qator orqali aniqlanadi. Analitik davom ettirish uslubidan foydalanib, Rx,s, rezolventani  , ,... xos qiymatlardan tashqari butun kompleks tekislikga  bo’yicha analitik davom ettirish mumkin. U holda (19) formula yordamida aniqlangan yechim barcha    k  0,1,2,... larda (13) tenglamani yechimini tashkil etadi.

3. 
   Volter integral tenglamalari va ularni yechish
   

Volter integral tenglamalarini yechish. Volterning ikkinchi tur tenglamalarini ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish mumkin. Faraz qilaylik, quyidagilar berilgan bo’lsin:
(21)
b) f (x)  0 haqiqiy va I(a  x  b,) kesmada uzluksiz,
c) K(x,t)  0 haqiqiy va (a  x  b, a  t  x) sohada uzluksiz,
d)  parametr (o’zgarmas son)
Berilgan (21) tenglamaning yechimini ushbu
(22)
funksional qator ko’rinishida izlaymiz. Noma’lum funksiyalarni topish maqsadida (22) ni (21) tenglamaga qo’yamiz, u holda ushbu ayniyat hosil bo’ladi:

Bu ayniyatning ikki tomonidagi bir xil darajali  larning koeffitsiyentlarini tenglab quyidagi
(23)
munosabatlarni olamiz. Bundagi u (x)  f (x) ma’lum bo’lgani uchun boshqa u (x) lar (23) dan ketma-ket chiqaveradi. So’ngra ularni (22) ga qo’yilsa, izlanayotgan yechim kelib chiqadi. Endi (22) qatorning I kesmada absolyut va tekis yaqinlashishini ko’rsatamiz. Uning uchun, biror musbat hadli yaqinlashuvchi qatorning hadlari bilan (22) qatorning mos hadlarini solishtirib ko’rish kerak. Yuqorida berilgan b) va c) shartlarga ko’ra

bo’lgani sababli, quyidagi tengsizliklarni yoza olamiz:


va hokazo, shu xilda davom etilsa
(24)
Endi tengsizliklarning o’ng tomonidagi hadlarga asoslanib, quyidagi musbat hadli qatorni tuzib olaylik:
(25)
Bu qatorning yaqinlashuvchi ekanini Dalamber alomati yordamida ko’rsatish mumkin:

bundan

Demak, (25) qator yaqinlashuvchi ekan. Shu sababli yuqoridagi tengsizliklarga asosan (22) qator I sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Shunday qilib, absolyut va tekis yaqinlashuvchi (22) qator berilgan (25) Volter tenglamasining yechimidir. Konkret tenglamalarni yechishda (23) munosabatlarga asoslanib u larni (i  0,1,2,) topish va ularni ifodalarini (22) qatorga qo’yib chiqish kifoya. (21) tenglamani taqribiy yechimini

desak, (24) baholashga ko’ra, uning xatoligini ushbu

formula bilan aniqlash mumkin.

2.