Mavzu: Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Reja: Kirish I bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama

Klero tenglamasi: Klero tenglamasi deb Lagranj tenglamasining bo’lgan xususiy holiga aytiladi.Klero tenglamasining umumiy ko’rinishi:

(21)

deymiz. U holda

(22)

x bo’yicha differensiallab, quyidagini topamiz:

, ya’ni bu yerdan yoki

(23).

tenglamadan p=c kelib chiqadi, (22) da p o’rniga c ni qo’yib, Klero tenglamasining parametrik shakldagi yechimini beradi:

Haqiqatan ham, bu tenglamalardan:

,

bu yerdan . Buni Klero tenglamasiga qo’yish

ayniyatga olib keladi. Sistemaning ikkala tenglamasidan p parametrni yo’qotib, (21) tenglamaning integrali ni hosil qilamiz. Bu integralda c ishtirok etmaydi, umumiy integral bo’la olmaydi.Uni umumiy integraldan c ning hech qanday qiymatida hosil qilib bo’lmaydi, chunki chiziqli funksiya emas. U maxsus integral deyiladi.

7-Misol:

bu yerda tenglamaning umumiy va maxsus yechimini topamiz. Umumiy yechimi bevosita tenglamadan p ni c ga almashtirib topamiz: . Maxsus yechimni topish uchun ni topamiz. Ushbu tenglamalar sistemasi parametrik shakldagi maxsus yechimdan iboratdir. p parametrni yo’qotamiz. Buning uchun ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib,ularni birinch tenglamaning mos qismlariga bo’lamiz; ni hosil qilamiz, bu yerdan . Geometrik nuqtai nazardan umumiy yechim to’g’ri chiziqlarning bir parametrli oilasini, maxsus integral esa parabolani tasvirlayd (1-rasm).

1-rasm.