Mavzu: Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Reja: Kirish I bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama

Lagranj tenglamasi: x va y ga nisbatan bo’lgan chiziqli, ya’ni

(16)

ko’rinishga ega bo’lgan tenglama shunday ataladi. deb faraz qilamiz. hol keyinroq qaraladi. Lagranj tenglamasini integrallash uchun ham parametrik usulni qo’llaymiz deymiz.U holda tenglama

(17)

ko’rinishida yoziladi. x bo’yicha differensiallab quyidagini hosil qilamiz:

(18)

yoki y' ni p bilan almashtirib, ga ko’paytirish va algebraik almashtirishlardan so’ng:

(19)

Bu x funksiya va hosilaga nisbatan chiziqli tenglama.Uning umumiy integrali

(20)

ko’rinishga ega. U (17) tenglama bilan birgalikda Lagranj tenglamasining parametrik shakldagi umumiy integralini beradi.(17) va (20) tengliklardan p ni yo’qotib, Lagranj tenglamasining umumiy integrali ni hosil qilamiz.(18) tenglamani o’zgartirishimiz bo’lgandagina mumkin ekanligini qayd qilib o’taylik. Agar tenglama ildizlarga ega bo’lsa,u holda ular yechimlarni ham beradi.

6-Misol:

tenglamaning umumiy yechimini topamiz.

deymiz. U holda yoki . Buni x bo’yicha differensiallab, topamiz:

Bir qator sodda o’zgartirishlardan so’ng quyidagini hosil qilamiz:

yoki ,

bu yerdan .

Potensirlasak:

Demak, umumiy yechim parametrik shaklda ushbu ko’rinishda bo’ladi:

p parametrni yo’qotamiz. Buning uchun

ifodani topamiz va tenglamaga qo’yamiz.Shunday qilib, umumiy yechim quyidagicha bo’ladi: