Mavzu: fazoda tekislik tenglamalari

10–misol. Koordinatalar boshidan х+у+z=1 tekislikka parallel o’tkazilgan tekislik tenglamasi tuzilsin.
Yechish. Bu yerda х₁=у₁=z₁=0 va А₁=В₁=С₁=1 bo’lgani uchun (7.11) ga binoan х+у+z=0 tenglamaga ega bo’lamiz.
2.Tekisliklarning perpendikulyarlik sharti. Ikki tekislik ularning normal vektorlari va o’zaro perpendikulyar bo’lgandagina perpendikulyar bo’ladi(8-rasm).

Ikki vektorning perpendikulyarlik shartiga asosan А1А2+В1В2+С1С2=0 (7.12) formulaga ega bo’lamiz. Bu ikki tekislikning perpendikulyarlik shartidir. Endi berilgan ikkita М1(х1;у1;z1) va М2(х2;у2;z2) nuqtalar orqali o’tuvchi va А1х+В1у+С1z+D1=0 tekislikka perpendikulyar tekislik tengmasini topamiz.

8-rasm

М₁(х₁;у₁;z₁) nuqtadan o’tuvchi istalgan tekislik tenglamasini yozamiz. U
А(х-х₁)+В(у-у₁)+С(z-z₁)=0 (7.13)
ko’rinishiga ega bo’ladi. Shartga binoan М₂(х₂;у₂;z₂) nuqta ham shu tekislikda yotganligi uchun uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantiradi, ya‘ni
А(х₂ -х₁)+В(у₂-у₁)+С(z₂-z₁)=0. (7.14)
Ikkinchi tomondan (12.13) tekislik berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lganligi uchun
АА₁+ВВ₁+СС₁=0 (7.15)
perpendikulyarlik sharti bajariladi. (7.14) va (7.15) ni birlashtirib
(7.16)
sistemaga ega bo’lamiz. (7.16) dan А,В va С koeffitsientlardan istalgan ikkitasini uchinchisi orqali ifodalab ularni topilgan qiymatlarini (7.13) tenglamaga qo’yib tenglamani uchinchi koeffitsientga qisqartirilsa izlanayotgan tenglama kelib chiqadi.
11–misol. М₁(1; 1; 1) va М₂(0; 1; -1) nuqtalar orqali o’tuvchi va х+у+z=0 tekislikka perpendikulyar tekislik tenglamasi topilsin.
Yechish. М₁(1; 1; 1) nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi
А(х-1)+В(у-1)+С(z-1)=0 (****)
bo’ladi. Tekislik М₂(0;1;-1) nuqtadan o’tishi va berilgan х+у+z=0 tekislikka perpendikulyarlik sharti (7.16) ga binoan
yoki ; ga ega bo’lamiz. Sistemaning birinchi tenglamasini А=-2С ko’rinishda yozib uni C ga bo’lsak bo’ladi. Sistemaning ikkinchi tenglamasini C ga bo’lsak

hosil bo’ladi. Tekislik tenglamasi (****) ni C ga bo’lib va o’rniga ularning topilgan qiymatlarini qo’ysak izlanayotgan tenglama hosil bo’ladi:
.