Mavzu: elementar matematika faning predmeti va vazifalari

1-teorema. Agar C(x) ifoda barcha x Xda aniqlangan bo'lsa,

A(x) + C(x) =B(x) + C(x) (2) va (1) tenglamalar teng kuchli bo'ladi, bu yerda X — (1) tenglamaning aniqlanish sohasi.

I s b o t. a soni (1) tenglamaning ildizi bo'lsin. U holda A( ) =B( ) chin sonli tenglik hosil bo'ladi. Ikkinchi tomondan, X ekanligidan C( ) soni mavjud va shunga ko'ra ,A() + C () = B () + C () ham chin tenglik. Demak, x =  soni (2) tenglamaning ham ildizi. (2) ning har bir ildizi (1) uchun ham ildiz bo'lishi shu kabi ko'rsatiladi .

Teoremadan ko'rinadiki A(x) - B(x) tenglamani unga teng kuchli bo'lgan f (x) = 0 ko'rinishdagi tenglama bilan almashtirish mumkin.

2- teorema. Agar C(x) ifoda barcha x X qiymatlarda noldan farqli qiymatlar qabul qilsa, (1) tenglama A(x)C(x)=B(x)C(x) tenglamaga teng kuchli bo'ladi, bu yerda X— (1) tenglamaning aniqlanish sohasi.

Bu teorema 1- teorema kabi isbotlanadi: A() =B() tenglikdan A() C () =B () C () tenglik kelib chiqadi, keyingi tenglikdan esa C () # 0 bo'lganidan A() =B ()

tenglik hosil bo'ladi.

Ko'paytirishda (demak, bo'lishda ham) C (x) 0 bo'lishi muhim. Aks holda, chet ildizlar paydo bo 'lishi mumkin.

Tenglama ikkala qismiga x ning ayrim qiymatlarida sonli qiymatga ega bo'lmaydigan ifoda qo'shilsa yoki ikkala qism shunday ifodaga ko'paytirilsa, ildiz yo'qolishi mumkin.

3-misol. (2x+1)(x² + 3) + x³ = (x-3)(x²+3) + x³ va 2x+ 1 = x-3 tenglamalar teng kuchli, chunki R o'plamda x² + 3 ko'paytuvchi noldan farqli, x³ qo'shiluvchi esa barcha R da aniqlangan.

4- m i s o 1 . = - 4 tenglamalar teng kuchli emas, chunki x = -2 da birinchi tenglama ma'noga ega emas, ikkinchi tenglama esa ma'noga ega va to'g'ri sonli tenglikka aylanadi. x-2 = -4 tenglamaning yagona ildizidir.

5- m i s o 1. x­²-9 = x-3 tenglamaning ildizlari x₁ = - 2 va x₂ = -3. Agar tenglamaning ikkala qismi x - 3 ga bo'linsa, unga teng kuchli bo'lmagan x + 3 = 1 tenglama hosil bo'ladi. Chunki, uning faqat bitta, ya'ni x = -2 ildizi mavjud. Bu yerda, tenglamani o'zgaruvchili ifodaga bo'lish natijasida, berilgan tenglamaning x = 3 dan iborat ildizi yo'qolganini ko'ramiz.