Mavzu: Egilishda ko’chishlarni aniqlash. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash

Mavzu: Egilishda ko’chishlarni aniqlash. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash

REJA:
1. Egilishdagi potensial energiya
2. Umumiy tushunchalar
3. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash
Tayanch so’z va iboralar: Balka, o’q; dastlabki, egilgan; salqilik, og’ish burchagi, bog’lanish, egrilik, differentsial tenglama, ishora, integrallash, doimiylar, shartlar: chegaraviy, mahkamlanish

1.Egilishdagi potensial energiya

Sof egilishdagi potensial energiyani topamiz. Uning qiymati tashqi momentning bajargan ishi kattaligiga teng bo‘ladi, ya’ni U =A
1 - shakldagi balka elementida eguvchi momentning bajargan ishi
dA=
Bu yerda va ekanligini nazarda tutsak,

Demak, egilishdagi deformatsiyaning potensial energiyasi
(joul) (a)
Bunda ko‘ndalang kuch ta’siri juda kichikligidan uni hisobga olinmaydi.
Balka bikrligi doimiy bo‘lgan balkaning sof egilishi uchun
(b)
bo‘ladi.
Misol. Ikki tayanchga qo‘yilgan balkaga R kuch ta’sir qilsin (1 - shakl). Shu balkaning potensial energiyasi topilsin.


Yechish. Balkaning tayanch reaksiyalari






1 - shakl.
va
I qism. OZ₁a
M=
II qism. OZ₂b

Deformatsiya potensial energiyasi (6) formula asosida:




2. Umumiy tushunchalar


Balkaga qo’yilgan tashqi kuchlar ta’sirida uning to’gri chiziqli o’qi qiyshayadi. Balkaning qiyshaygan o’qi egilgan o’q yoki elactik chiziq deb ataladi.
Egilish deformastiyasi egilgan balka ko’ndalang kesimining ikki xil ko’chishi: salqilik va ogish burchag Ko’ndalang kesim ogirlik markazining balka o’qiga tik (perpendikulyar) yo’nalishda ko’o’chishi salqilik deb ataladi.
Balka ko’ndalang kesimining deformastiyagacha va deformastiyadan keyingi vaziyatlari orasida hosil bo’lgan burchak mazkur kesimning ogish burchagi deb ataladi.
Ba’zan uni kesim o’qining dastlabki vaziyatiga nisbatan buriladigan burchak _V orqali ham ifodalanadi. (1- shakl)
Balkaning ixtiyoriy kesimlarida salqilik har xil yuz beradi, chunki z funkstiyasi hisoblanadi. Elastik chiziqning umumiy holdagi tenglamasi:




1- shakl


Matematikadan ma’lumki, berilgan nuqtada tekis egri chiziqqa urinmaning qiyalik burchagi tangensi z bo’yicha birinchi hosilaga teng:



Odatda, qurilmalarda  burchak 1 gradusdan oshmaydi, shuning uchun bu holda
(1)


Demak kesimning ogish burchagi shu kesimdagi salqilik hosilasi qiymatiga teng. shakl-1dan ko’rinadiki, balka kesimining ogish burchagi urinmaning qiyalik burchagiga mos keladi.
Balkalar deformastiyasini aniqlashning quyidagi usullari bor: a) analitik usul; b) grafik usul; v) grafoanalitik usul; g) energetik usul.

3. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash

Egilishdagi ko’chishlarni aniqlash uchun balka elastik chizigining tenglamasi ma’lum bo’lishi kerak. Balka o’qining egriligini eguvchi moment bilan boglovchi formuladan foydalanamiz:





bunda: - egrilik radiusi; _­ – eguvchi moment; – balkaning bikrligi.
Matematik analizdan chiziqning egrilik formulasi ma’lum:

Ifodalarning o’ngdagi qismlarini tenglashtirib, balka elastik chizigining aniq differenstial tenglamasini olamiz:


(2)


Uzluksiz kichik qiymat ni hisobga olmay balka elastik chizigining taqribiy differenstial tenglamasini olamiz: .
Ishora qabul qilingan koordinatalar tizimiga qarab tanlanadi. O’q u yuqoriga yo’nalganda tenglama quyidagi ko’rinishda ishlatiladi:


(3)
chunki eguvchi moment va egrilik bir xil ishoralarga ega (2- shakl)

2- shakl


(3) tenglamani bir marta integrallab, ogish burchaklari tenglamasini olamiz:
(4)


Uni ikkinchi marta integrallab, salqiliklar tenglamasini olamiz:
(5)


bunda: S va D – integrallash doimiylari.
Integrallash doimiylari chegaraviy shartlardan, ya’ni balkaning mahkamlanish shartlaridan aniqlanadi (3 - shakl).





3 -shakl


Balkalar deformastiyasini aniqlashga oid misollarni ko’rib chiqamiz.
1 – misol. Bir uchi qistirilgan va erkin uchiga to’plangan R kuch qo’yilgan balkaning eng ko’p salqiligini va kesimining ogish burchagini aniqlang (4 - shakl).


4- shakl
Koordinatalar boshi (0 nuqta) dan z masofadagi kesimdagi eguvchi moment, .Balka elastik chizigining differenstial tenglamasi:
.
Birinchi marta integrallasak.
Ikkinchi marta integrallasak
Integrallash doimiylari S va D ni chegaraviy shartlardan aniqlaymiz:


1) = da ;
2) = da
Birinchi shartdan
Ikkinchi shartdan ,
bundan
Kesimlarning ogish burchaklari va salqilik tenglamalari





Tenglamalardan ko’rinadiki, _max va u_max balkaning erkin uchida ( =0 bo’lganda) yuz beradi
va


Ogish burchagining musbat qiymati kesim soat miliga teskari, manfiy qiymati esa – soat mili yo’nalishida ogishini ko’rsatadi.
Salqilikning manfiy qiymati esa, balka ko’ndalang kesimining ogirlik markazi u o’qqa teskari yo’nalishda, musbat qiymati – u o’q yo’nalishida siljishini ko’rsatadi, z=0 da quyidagicha bo’lishini ta’kidlaymiz:
va
Bunda: va – koordinatalar boshida kesimning ogish burchagi va salqilik.
Integrallash doimiylarining o’lchamliligi: