Mavzu: Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esa xos vector deyiladi.

Ma'lumki, har bir A : Cⁿ  Cⁿ chiziqli operatorga _a _ n  n matritsa mos keladi va

ij

aksincha. Chiziqli algebra kursidan ma'lumki, agar  son A operatorning xos qiymati

bo`lsa, det(A  I )  0 bo`ladi va aksincha n n matritsa determinanti det(A  I )  0

parametr  ning n- darajali ko`phadi bo`ladi va det(A  I )  0 tenglama ko`pi bilan n

ta ildizga ega, ya'ni

A : Cⁿ  Cⁿ

chiziqli operator ko`pi bilan n ta xos qiymatga ega.

Agar  son A operatorning xos qiymati bo`lsa A  I

ga teskari operator mavjud emas

va aksincha. Agar  son A operator uchun xos qiymat bo`lmasa, ya'ni det(A  I )  0

bo`lsa, u holda A  I

aniqlangan bo`ladi.

ga teskari operator mavjud va u Cⁿ

fazoning hamma yerida

1. teorema.

A : Cⁿ  Cⁿ

chiziqli operator chegaralangandir.

Isbot. Cⁿ fazoda e , e ,........, e ortonormal bazisni tanlaymiz. U holda har bir

x Cⁿ

1 2 n



n
vektor yagona usulda
x  _ x_ie_i

i1

ko`rinishda tasvirlanadi. Agar A operator holda

Cⁿ da aniqlangan chiziqli operator bo`lsa, u

_n

Ax  _ x_i Ae_i

i1
bo`ladi. Shunday ekan, chiziqli operator o`zining

e₁, e₂, , e_n

bazis vektorlardagi

qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Endi Ax ning normasini baholaymiz

Bu yerda:

Yuqorida aytilganlarning natijasi sifatida shuni ta'kidlash lozimki, chekli o`lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun quyidagi ikki holat sodir bo`lishi mumkin:

1. 
    son uchun Ax=  x tenglama nolmas yechimga ega, ya’ni  son A
   

operator uchun xos qiymat. Bu holda A  I

emas;

ga teskari operator mavjud

2. 
    son uchun Cⁿ
   

fazoning hamma yerida aniqlangan

( A  I )^1

operator

mavjud va chegaralangan.

Chekli o`lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to`plami operatorning spektri deyiladi. Agar   son A operator uchun xos qiymat bo`lmasa, u A operatorning regulyar nuqtasi deyiladi. Umuman aytganda, chekli o`lchamli fazolarda spektr termini kam ishlatiladi.

Agar A operator cheksiz o`lchamli X fazoda berilgan bo`lsa, u holda yuqorida keltirilgan 1 va 2 holatlardan farqli bo`lgan uchinchi holat ham bo`ladi,ya'ni:

3. ( A  I )^1

ega,lekin

operator mavjud,ya’ni Ax=  x tenglama faqat nol yechimga

( A  I )^1 operator X fazoning hamma yerida aniqlanmagan yoki

1. 
   ta'rif. Agar   son uchun A  I
   

Im( A  I )  X

ga teskari operator mavjud bo`lib, u X ning

hamma yerida aniqlangan bo`lsa,  soni A operatorning regulyar nuqtasi deyiladi.

R_ ( A)  ( A  I )^1

operator esa A operatorning  nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regulyar

nuqtalar to’plami ( A) orqali belgilanadi.

2. 
   ta'rif. A operatorning regulyar bo`lmagan barcha nuqtalari to`plami A operatorning
   

spektri deyiladi va u σ(A) orqali belgilanadi.

3. 
   ta'rif. Agar biror   son uchun (AI  x)  0
   

tenglama nolmas

x  0 yechimga ega bo`lsa,  son A operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas yechim

x esa xos vektor deyiladi.

Ko`rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to`plami spektrda yotadi, chunki  xos

qiymat bo`lsa, A  I

operatorning teskarisi mavjud emas.

Spektr quyidagi qismlarga ajratilad:

4. ta'rif.

1. 
   Barcha xos qiymatlar to`plami A operatorning nuqtali spektri deyiladi va bilan belgilanadi.
   

 _pp ( A)

2. 
   Agar  xos qiymat bo`lmasa va Im( A  I )  X , ya'ni A  I
   

operatorning qiymatlar

sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday  lar to`plami A operatorning qoldiq

spektri deyiladi va

 _qol ( A)

bilan belgilanadi.

Endi o`z-o`ziga qo`shma operatorlar uchun muhim spektr ta'rifni keltiramiz.

5. 
   ta'rif. Agar biror
   

  ( A) son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi

f_n  H

birlik

vektorlar ketma-ketligi mavjud bo`lib,

lim (AI) ^{ 0}

n

bo`lsa, u holda  son A  A^

operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi.

A operatorning muhim spektri _ess ( A)

bilan belgilanadi.

Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o`zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim spektrlar o`zaro kesishishi mumkin.

2-teorema. Agar

A L(x) va

  A

bo`lsa, u holda  regulyar nuqta bo`ladi.

Isbot. A  I

operatorni quyidagicha yozib olamiz:

A  I  (I  ¹ A)



(1)

Operatorning spektri σ(A) regulyar nuqtalar to`plamining to`ldiruvchi to`plami

bo`lgani uchun

( A) ning ochiq to`plam ekanligini ko`rsatish yetarli. Endi

  ( A)

ixtiyoriy nuqta bo`lsin, ya'ni A  I

operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan

bo`lsin. U holda 6-teoremaga ko`ra, barcha

 ,  ( ( A  I )^1

lar uchun A  I  I

operatorning ham chegaralangan teskarisi mavjud. Demak,   ( A) nuqta o`zining

  ( ( A  I )^1 )^1  0

atrofi bilan

( A)

ga qarashli ekan. Bu esa  nuqtaning

( A)

to`plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi.  ning ixtiyoriyligidan ( A) ning

ochiq to`plam ekanligi kelib chiqadi. Demak,20.4-teoremaga ko`ra yopiq to`plam.

Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz.

 (A) 
∆

4. teorema.

A L(H )

o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsin. U holda:

1. 
   _qol ( A)
   

bo`sh to`plam.

2. 
   σ(A) to`plam R ning qismi, ya'ni  ( A)  R
   

3. 
   A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o`zaro ortogonaldir.
   

1-misol.

^L2 ^a,b <sup>Hilbert fazosida erkin o`zgaruvchi x ga ko`paytirish operatori ya'ni:

A : L2</sup> ^a,b ^{ L2} ^a,b^{,(Af )(x)  xf (x)}

operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping.

Yechish. A A^

bo`lishi uchun, deyarli barcha

^{x }^a,b

larda

u(x)  bo`lishi zarur va

yetarlidir va


u(x)  x  x  u(x)

tenglikka ko`ra, A  A^

4-teoremaning a)-tasdig`iga

ko`ra

_qol A  . Ma'lumki,

(Af )(x)  xf (x)
ya'ni (x  )  f (x)
, (2)

tenglama ixtiyoriy ‚

 C

uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A operator xos

qiymatlarga ega emas, ya'ni  _pp A  (2) -tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan

3-teoremaga ko`ra (A  I ) f (x)  g(x)

tenglamaning ixtiyoriy

g  Im A

da yagona

yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko`rsatish mumkinki A  I

operator

operatorga teskari

(A  I )^1 g(x)  (x  )^1 g(x) (3)

formula bilan aniqlanadi. Agar

^{ }^a,b

bo`lsa, u holda (x  )  0 , natijada

( A  I )^1 operator

^L2 ^a,b ^{fazoning hamma yerida aniqlangan va Banax teoremasiga}

ko`ra, u chegaralangan bo`ladi. Demak,

^{ }^a,b

^{regulyar nuqta, ya'ni  ( A) }^a,b^.

Lekin (3) formula bilan aniqlangan teskari operator

^{ }^a,b <sup>bo’lganda

L2</sup> ^a,b

^{fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak,} ^a,b^{ ( A)}

. Bulardan, σ(A) = [a; b].

Endi A operatorning spektridagi ixtiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli

^{ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy  }^a,b ^uchun

deymiz. Ma'lum nomerdan boshlab

  ¹  b n

bo`ladi va bunday nomerlar uchun

f_n  1

tenglik o`rinli. Bundan tashqari har xil n va m larda

A_n  A_m   bo`lgani uchun

( f_n  f_m )  0

^{tenglik o`rinli, ya'ni}  ^fn ^{ortonormal sistema ekan. Ma'lumki, ixtiyoriy}

^{ortonormal sistema nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi, shuning uchun}  ^fn ^ketma-

ketlik ham nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi. Endi hisoblaymiz:

( A  I ) f_n

norma kvadratini

Demak, ta'rifga ko`ra,

^{ }^a,b ^{son A operatorning muhim spektriga qarashli ekan.}

  b

nuqtani A operatorning muhim spektriga qarashli bo`lishini o`quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz. Shunday qilib, A operatorning spektri faqat muhim spektrdan iborat bo`lib, u [a; b] kesma bilan ustma-ust tushadi. Xulosa,

2. 
   misol. 1-misolda qaralgan A operatorni C[a; b] Banax fazosida, ya'ni
   

^{A : C} ^a,b ^{ C} ^a,b^{,(Af )(x)  xf (x)}

operatorni qaraymiz. Uning nuqtali va qoldiq spektrini toping.

Yechish. Ma'lumki, ((2) - ga qarang) (Af )(x)   f (x)

^{(x  ) f (x)  0, f C} ^a,b

ya'ni
(4)

tenglama ixtiyoriy  C uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A operator xos

qiymatlarga ega emas, ya'ni

 _pp A  (4) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan

2. 
   teoremaga ko`ra (A  I ) f (x)  g(x)
   

tenglamaning ixtiyoriy

g(x) Im A da yagona

yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, A  I

operatorga teskari operator mavjud

va u (3)- formula bilan aniqlanadi. Xuddi 1-misoldagi kabi ko`rsatishimiz mumkinki,

σ(A) = [a,b] tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, agar

^{ }^a,b

bo`lsa, u holda (3)-ning o`ng

tomoni ixtiyoriy

^{g C} ^a,b <sup>da uzluksiz funksiya bo`lada, ya'ni

D((A  I )1)  C</sup> ^a,b ^va

teskari operatorlar haqidagi Banax teoremasiga ko`ra,

( A  I )^1

operator

^{chegaralangan bo`ladi. Demak ‚  regulyar nuqta, ya'ni  ( A) C} ^a,b ^{Agar  }^a,b

bo`lsa, u holda (3)- formula bilan aniqlangan

( A  I )^1

operator C[a; b] fazoning

^{hamma yerida aniqlanmagan, bundan} ^a,b ^{  ( A) . Bulardan, σ(A) = [a,b] ekanligi kelib}

chiqadi. Endi  ( A)  _qol ( A) ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy operatorning qiymatlar sohasi

^{ }^a,b ^{uchun A  I}

Im( A  I )  _g C _a,b_: g(x)  (x  ) f (x)_
C[a; b] fazoda zich emas. Haqiqatan ham, Im(A  I ) chiziqli ko`pxillilikdagi

ixtiyoriy g uchun

g()  0

shart bajariladi. Agar biz

f₀ (x)  1 desak, u holda

g Im(A  I ) uchun

tengsizlik o`rinli. Demak, Im(A  I )

chiziqli ko`pxillilikdan

f₀ (x)  1 elementga

yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Qoldiq spektr ta'rifiga ko`ra,

^{ixtiyoriy  }^a,b ^{uchun  }_qol ^{( A) munosabat o`rinli. Bundan  ( A)  }_qol ^{( A) kelib}

chiqadi. Teskari munosabat

^{ ( A)  }_qol ^{( A) doim o`rinli. Demak,  ( A)  qol ( A) } ^a,b ^∆

1-va 2-misollarda bir xil qonuniyat bo`yicha ta'sir qiluvchi A operator har xil

^{L2 }^a,b

va C[a; b] fazolarda qaralgan. Har ikki holda ham A operatorning spektri [a, b] kesma bilan ustma-ust tushgan, lekin spektrning qismlarida (strukturasida) o`zgarish bo`ldi. ^{Birinchi holda (1-misolda) }_qol ^{( A)  edi, ikkinchi holda qol ( A) } ^a,b ^.

3. 
   misol. Endi l₂
   

Hilbert fazosida ko`paytirish operatorini, ya'ni

A : l₂  l₂ , Ax  (a₁x₁, a₂ x₂ ,....a_nx_n ....) , (5)
operatorni qaraymiz .Uning xos qiymatlarini va spektrini toping.

Yechish. sup a_n

n1

 a   bo`lgan holda, A ning chegaralangan ekanligi ma’lum. Bundan

tashqari

A  sup a_n  a

n1

tenglik isbotlangan edi. Ax  x

tenglama

  a_n

bo`lganda

e_n  (0,......., 0,1, 0, )

nolmas yechimga ega. Demak,

a_n , n  N

sonlar A operatorning xos

qiymatlari bo`lar ekan. Agar birorta ham n  N

teskarilanuvchan bo`ladi va

da   a_n

bo`lsa, u holda A  I

operator

( A  I )^1 x  (

x₁

  a₁

_, x₂

  a₂

,....

x_n

  a_n

,...) , (6)

^Bulardan ^{a1, a2,....an....} ^{  pp ( A) tenglik kelib chiqadi. Ma'lumki, xos qiymatlar} operatorning spektriga qarashli bo`ladi, shuning uchun

^{a1, a2,....an}  ^{  ( A).}

Ikkinchi tomondan chegaralangan operatorning spektri yopiq to`plamdir, demak  _pp ( A)

to`plamning yopig`i [ _pp ( A)] uchun

munosabat o`rinli. Agar

^{a1, a2,....an}  ^{ [ ( A)]   ( A)}

 [ _pp ( A)] bo`lsa, u holda (6)- tenglik bilan

(7)

aniqlangan

^L2 ^{ ,}  ^{operator l2}

fazoning hamma yerida aniqlangan va chegaralangan

bo`ladi. Bundan C / [ _pp ( A)]   A( A)

Bu yerdan

ekanligi kelib chiqadi.

 ( A)  [ _pp ( A)]

(8)

^{(7) - va (8)- munosabatlardan  ( A)  [} _pp <sup>( A)] ga kelamiz. Ko`rsatamizki,</sup> <sup>an</sup> <sup>ketma-</sup> ketlikning barcha limitik nuqtalari A operatorning muhim spektriga qarashli bo`ladi.

Buning uchun limitik nuqta  ga yaqinlashuvchi _a_{nk } qismiy ketma-ketlikni qaraymiz.

U holda

_e_{nk }ketma-ketlik ortonormal sistema bo`lganligi uchun nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi. Demak,  son A operatorning muhim spektriga qarashli ekan. ∆

3. 
   misol. Quyidagicha savol qo`yamiz. l₂
   

Hilbert fazosida shunday

A : l₂  l₂

chiziqli

operatorga misol keltiringki, uning spektri oldindan berilgan M  yopiq to`plam bilan ustma-ust tushsin.

Yechish. Kompleks sonlar to`plami separabel metrik fazo bo`lgani uchun,

uning hamma yerida zich sanoqli D to`plam mavjud. U holda M  D to`plam sanoqli va

M ning hamma yerida zich bo`ladi. Endi M  D

^{to`plam elementlarini} ^{a1, a2,....an} 

nomerlab chiqamiz va 3-misolda qaralgan, (5) - tenglik bilan aniqlanuvchi A operatorni qaraymiz. 3-misolda ko`rsatilganidek

 ( A) [ _pp ( A)]  . ∆
Bu yerda, biz M  deb olishimiz ham mumkin. Demak, spektri butun kompleks sonlar to`plami bilan ustma-ust tushuvchi chiziqli operator mavjud ekan. Bu holda ta'rifga

ko`ra, ( A)  bo`ladi. Shuni ta'kidlaymizki, M  agar yopiq to`plam

chegaralangan bo`lsa, u holda spektri M bilan ustmaust tushuvchi A operator ham chegaralangan bo`ladi va aksincha.