Mavzu: akademik litseylarda haqiqiy sonlarni kiritish usullari

1-teorema; Agar birinchi ketma- ketlikning istalgan hadidan kichik bo’lmagan va ikkinchi ketma- ketlikning istalgan hadidan katta bo’lmagan ratsional son mavjud bo’lsa, u holda bunday ratsional son yagona bo’ladi.

Isboti. Faraz qilaylik ketma- ketlik yuqoridagi uchta shartni qanoatlantirsin va ixtiyoriy uchun (1)

tengsizlik o’rinli bo’lsin.

Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi va ga teng bo’lmagan yana bitta son mavjud bo’lsin, aniqlik uchun deb olaylik. Demak, istalgan uchun

(2)

tengsizlik o’rinli.

Yuqoridagi tengsizliklardan tengsizliklarga egamiz. Birinchi tengsizlikdan ikkinchi tengsizlikni ayirib tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu esa yaqinlashishning uchinchi shartiga zit ayirma yetarlicha katta bo’lganda istalgan musbat sondan kichik bo’lishi lozim, biz bu ayirmaning dan kichik bo’la olmasligini ko’rsatdik. Demak, yagona ekan.

Isbotlangan teoremaga asosan, yaqinlashuvchi ketma-ketlar jufti yagona ratsional sonni aniqlaydi deb aytish mumkin. Lekin shu yaqinlashuvchi ketma – ketliklar juftini ratsional son deb atash tabiiydir. Masalan, 0,(3) davriy kasrdan hosil bo’lgan 0,3;0,33;0,333;… va 0,4;0,34;0,334;… ketma- ketliklar sonni aniqlaydi.