Mavzu: akademik litseylarda haqiqiy sonlarni kiritish usullari

2-teorema. Har qanday davriy cheksiz kasr ratsional son bo’ladi.

Isboti. Aytaylik davriy kasr berilgan bo’lsin, bu yerda bilan ta raqamidan iborat davr belgilangan. Endi masalani quydagicha qo’yamiz: shunday ratsional sonni toppish kerakki, uni o’nli kasrga aylantirganda berilgan o’nli kasr hosil bo’lsin.

ta raqamli sonni bilan belgilaymiz, orqali ta to’qqizdan iborat son belgilaymiz. Ya’ni .

sonda birinchi raqamini ohirgi o’rniga ko’chirib

demak,

.

son bilan ham huddi shunday amal bajaramiz, ya’ni y ni so’nggi o’rniga olib kelamiz va yuqoridagi kabi , bu yerda , tenglikka ega bo’lamiz.

Shu amalni marta bajaramiz quydagi tengliklarga ega bo’lamiz:

Bu yerda , ya’ni y avval berilgan songa teng.

Agar biz ratsional sonni o’nli kasrga aylantirsak, aynan yuqoridagi kabi

amallarni bajargan bo’lar edik. Haqiqatdan ham, bunda biz ni 10 ga ko’paytrib,

ni ga bo’lish amalini bajarar edik, bunda bo’linma ga qoldiq ga teng

bo’ladi. Qoldiqni yana 10 ga ko’paytrib ga bo’lamiz, bo’linmada ni qoldiqda ni hosil qilamiz va hakazo. chi bo’lishdan so’ng qoldiqda ni, ya’ni y dastlabki sonni hosil qilamiz va butun jarayon cheksiz takrorlanadi.

Shunday qilib, davriy kasr kasrni o’nli kasrga aylantrish natijasida hosil bo’ladi.

Shu davriy kasrda verguldan so’ng ta raqamni olib, topilgan sonning aniqlikdagi kami bilan taqribiy qiymatni hosil qilamiz. Shu yaqinlashishning so’nggi raqamiga birni qo’shib, berilgan sonning aniqlikda ortig’i bilan yaqinlashishni hosil qilamiz. Natijada sonni ifodalaydigan juft ketma – ketlikning hadlarini hosil qilamiz.

Shuni takidlaymizki kerakli,aynan bitta son cheksiz takrorlovnuvchi ketma – ketlikning hususiy holi bo’ladi.

Natural sonlar tarixan birinchi bo’lib yuzaga keldi va fanga kiritildi. Natural sonlar alohida, fanda aytlishicha, diskret buyumlar miqdorini (sonini) masalan, jamodagi kishilar sonini, qo’ldagi barmoqlar sonini sanash uchun vositadir.

Natural sonlar cheksiz to’plamni tashkil etadi, uni harfi bilan belgilash qabul qilingan:

Buyumlarni sanash uchun yaroqli bo’lgan natural sonlar amalda boshqa maqsadlar, jumladan, kesmalarning uzunliglari va fizikaviy kattaliklarni o’lchash uchun kifoya qilmay qoldi. Birning ulushlari va bu ulushlari miqdorini kiritish zarurati yuzaga keladi. Masalan, biror kattalikni ta bo’lakka bo’lib, bu bo’laklardan tasi olingan bo’lsa, u holda yangi, kasr son deb ataladigan son kiritiladi. Ya’ni son (endilikda bizga ma’lum bo’lgan) va natural sonlar juftining tayin kombinatsiyasi ekanligini aytib o’tamiz.

Keyinchalik, o’lchashning ana shu ehtiyojlari tanlab olingan sanoq boshi nuqtasidan ikki qarama – qarshi tomonga o’zgarishi mumkun bo’lgan miqdorlarni o’lchash imkoniga ega bo’lish – manfiy sonlarni kiritish zaruratiga olib keladi:jumladan, sanoq boshi sfatida dengiz sathi olinadigan bo’lsa, u holda tog’ning holatini belgilash uchun musbat son – tog’ning balandligi , dengizning chuqurligi holatini belgilash uchun esa manfiy son olinadi. Prujinaga ta’sir etayotgan kuchlarni o’lchashdan prujinani qisuvchi kuchlar manfiy bo’ladi.

Shunday qilib, har bir natural yoki kasr songa manfiy son mos qo’yiladi. Agar (musbat) sonni (yoki + ) harfi bilan yozadigan bo’lsak, u holda unga mos << qarama – qarshi >> (manfiy) son bunday yoziladi : - .

Yuqorida ko’rsatilgan barcha sonlar qatoriga 0 soni kiritiladi, u o’lchashda boshlang’ich nuqta, belgiga (yoki sanashda buyumining yo’qligiga) mos keladi.

Mumkin bo’lgan barcha musbat va manfiy butun va kasr sonlar hamda 0 sonidan iborat to’plam ratsional sonlar to’plami deyiladi va harfi bilan belgilanadi.

Natural sonlarga qarama – qarshi bo’lgan manfiy sonlar butun manfiy sonlar deyiladi va ular natural sonlar hamda 0 soni bilan birgalikda butun sonlar to’plamini tashkil qiladi; bu to’plam harfi bilan belgilanadi.

Butun sonlar kasr ko’rinishida yozilishi ham mumkin, masalan,

Shunday qilib, har qanday ratsional son ko’rinishda tasvirlanadi, bu yerda istalgan butun son natural son.

Ravshanki , to’plam ga, to’plam esa ga kiradi:

(bu yerda bir to’plamning boshqa to’plam kirishi belgisi; bunday o’qiladi: A to’plam B to’plam kiradi yoki A to’plam B to’plamning qism to’plami),

Demak, Z to’plam N to’plamning kengaytmasi, Q esa Z to’plamning, va demak, N to’plamning kengaytmasidir.

O’quvchining diqqatini alohida shunga jalb qilamizki, son tushunchasi deyilganda sonning faqat mavjudligi emas, balki sonlar ustida amallarning qonunlari va ular orasidagi ba’zi munosabatlar ham tushuniladi. Bunda asosiy amallar sonlarni <> va <>, ular orasidagi asosiy munosabat esa sonlarni taqqoslash, ya’ni ikkta sondan qaysi biri kichik (katta) ekanligini (bunday taqqoslash, ya’ni, boshqacha aytganda, tartiblanganlik mumkin bo’lsa ) aniqlashdir.

Ratsional sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari hamda bu sonlar uchun taqqoslash munosabati quydagi asosiy qonunlarga (xossalarga) bo’ysunadi:

Bu yerda agar aksincha aytilmagan bo’lsa, istalgan sonlar, 0 va 1 orqali yagona no’l va bir sonlari belgilangan, ular 3- va 7- xossalarga (istalgan uchun ) yagona qarama-qarshi son mavjud, istalgan uchun teskari son (u ham yagona) mavjud.

Ratsional sonlarning yuqorida ko’rsatilgan xossalari ratsional sonlar ustida avvaldan ma’lum bo’lgan arfmetik amallarni asoslashga imkon beradi.

1- 4- xossalar qo’shish qonunlaridir; 1-xossa o’rin almashtirish qonuni yoki kommutativlik qonuni degan nom bilan yurtiladi; 2- xossa gruppalash qonuni yoki assotsiativlik qonunini ifodalaydi; ko’paytrishni 5-6- qonunlari ham shularga o’hshash; 9- xossa qo’shish amalini ko’paytirish amali bilan bo’g’laydi va ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimot yoki distributivlik qonuni deyiladi; 10-12- xossalar sonlarning tartiblanganlik (taqqoslash)xossalaridir. Bunda 10- xossa tranzitivlik xossasi deyiladi, 11 va 12- xossalar esa tengsizliklarni ko’paytrish va ularni no’ldan farqli songa ko’paytrish qoidalarini ifodalaydi.

12- xossadan

ekanligini e’tiborga olinadigan bo’lsa, ratsional son uchun ma’lum bo’lgan ushbu ishoralar qoidalari kelib chqadi

Ratsional sonlar to’plamida

ko’rinshdagi tenglamalar yechilishga ega. Bunday yechilishiga egalik istalgan tayin soni uchun qarama qarshi son va istalgan soni uchun teskari son mavjudligi bilan taminlanadi.

Algebrada 1-9- xossalarga bo’ysunadigan amallar bajarish mumkun bo’lgan har qanday sonlar to’plami maydon deyiladi.

Shunday qilib, ratsional sonlar to’plami tartiblangan sonli to’plamdir.

Pirovardida ratsional son to’plamining Arximed xossasi deb ataladigan muhim bir xossasini aytib o’tamiz. Ushbu davodan iborat: istalgan ratsional son uchun shunday natural son mavjudki, bo’ladi. Bu xossadan istalgan ikkita (bunda va ratsional sonlar uchun shunday natural son mavjudki

bo’lishi kelib chiqadi. (Nima uchun ? Bu fakitni geometrik talqin eting.)

Maktab matematika kursidan ma’lumki, istalgan musbat ratsional son kasr (bir juft son ) ko’rinishda tasvirlanishdan tashqari o’nli kasr ko’rinishida ham tasvirlanishi mumkin; shu bilan birga bazi sonlar chekli o’nli kasrlar ko’rinishida ham yozilishi mumkun, masalan, bazi sonlarni esa bunday ko’rinishda yozib bo’lmaydi, bu narsa mahrajini tuzilishiga bog’liq bo’lib, bu xolda cheksiz davriy kasr ko’rinishda yozuv yuzaga keladi, masalan,

Shunday qilib har qanday ratsional son butun sonlarning nisbati ko’rinishda mumkinligi bilan bir qatorda, bunga teng kuchli bo’lgan bunday ta’rifni ham berishimiz mumkin: xar qanday ratsional son so’zsiz cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishda tasvirlash mumkin.

Eslatma. Biz bunda deb yozishimiz lozim, binobarin, 0,74(9) sonining 0,75(0) ga teng deb xisoblashimiz mumkin.

Ratsional sonlar to’plami kengaytrish zarurligi. Praktika extiyojlari, shuningdek, matematkaning o’zini extiyojlari, uning mantiqiy rivojlanishi ratsional sonlar to’plami turli masalalarining xal etishda yetarli emasligini ko’rsatadi.

Masalan , masalani qaraylik ; tomoni qabul qilingan o’lchov birligida 1 songa teng bo’lgan kvadrat berilgan: bu kvadrat dioganalining uzunligini ifodalovchi sonni topish lozim. Pifagor teoremasiga muvofiq ,

Shunday qilib, masalan kvadrat tenglamani yechishga , yoki boshqacha aytganda simvoli yaroqli ratsional son vositasida ifodalashga (ixtiyorimizda boshqa sonlar hozircha yo’q!) keltirildi.

Lekin butun sonlar orasida 2 ga teng sonni topa olamizmi chunki

Demak, izlanayotgan sonni kasrlar orasidan topishga urinib ko’rish, ya’ni

deb olish lozim ( m va n sonlari o’zaro tub albatta, aks xolda ularni qisqartirgan bo’lardik,).

Bu masalani tekshirish prinspiyal jixatdan muxim teoremaga olib keladi.