Матрицалар ва улар устида амаллар

4-Таъриф. ва матрицалар купайтмаси деб, улчами булган шундай матрицага айтиладики, унинг - элементи,

тенглик оркали аникланади, купайтма куринишда ифодаланади, яъни .
Юкорида киритилган матирицалар устидаги амаллар учун куйидаги хоссалар уринли булиб, бу хоссаларнинг исботи, уларга мос ухшаш хоссаларни сонлар устида уринли эканлигидан келиб чикади. Бу исботларни укувчининг узига хавола киламиз.
1. Матрицаларни кушиш амали учун коммутативлик, яъни урин алмаштириш хоссаси уринли, яъни

2. Матрицаларни кушиш амали учун ассоциативлик, яъни гурухлаш хоссаси уринли, яъни

3. Матрицаларни сонга купайтиришни, уларни кушишга нисбатан дистрибутивлиги уринли, яъни

4. Матрицаларни купайтириш амали, уларни кушишга нисбатан дистрибутивлиги уринли, яъни
ёки
5. Матрицани сонга купайтириш ва матрицаларни купайтириш орасида куйидаги хосса уринли, яъни

6. Матрицаларни купайтириш амали учун гурухлаш хоссаси уринлидир, яъни

Шуни таъкидлаб утиш лозимки купайтма мавжуд эканлигидан ни мавжуд эканлиги келиб чикмайди, сабаби купайтмани аниклаш А –матрицанинг устунлар сони В- матрицанинг сатрлар сонига тенг булиши керак, бундан В матрицанинг устунлар сони А-матрицанинг сатрлар сонига тенг булмаслиги хам мумкин, шунинг учун купайтмани хар доим аниклаб булмас экан. Масалан:

матрицалар учун аниклаш мумкин, лекин ни аниклаб булмайди.
Яна шуни таъкидлаш кераки ва купайтмалар мавжуд булган такдирда хам = тенглик уринли булмаслиги мумкин.
Масалан;

Матрицалар учун купайтма матрицанинг улчами 3х3 булса, ники эса 2х2, демак табиий

эканлиги келиб чикади. Энди А п-тартибли квадрат матрица булсин.У холда

ва

муносабатлар уринли эканлигини куриш кийин эмас.

Натурал к сони учун, куйидаги тенгликлар оркали

А матрицанинг « к-даражаси» ни аниклаймиз.

Таъриф буйича ва деб кабул килинади.

Агар А -матрицани тартиб ракамларини узгартирмаган холда сатрларини устун, устунларини сатр килиб алмаштирсак хосил булган янги матрица А –матрицанинг транспонирлангани деб номланиб, (ёки А^Т) шаклда белгиланади. Масалан, булса, булади.

Юкоридаги алмаштириш матрицани транспонирлаш деб номланади. Транспонирлаш куйидаги хоссаларга эга:

Бу хоссаларнинг исботини хам укувчига хавола киламиз.