Матрицалар ва улар устида амаллар

2-хосса. Агар - матрицанинг бирон бир сатр (устун) элементлари сонига купайтирилса, детерминант киймати хам сонига купаяди, яъни га тенг булади. Бу сатр учун хоссанинг исботи (2) тенгликдан тугридан-тугри келиб чикади,
.
Хоссанинг устун холи учун исботи, Лаплас теоремаси, яъни (2) тенгликдан келиб чикади.
3-хосса. -матрица ва унинг транспонирлангани матрицаларнинг детерминантлари тенг булади, яъни тенглик уринлидир.
Бу хоссанинг исботи тугридан тугри Лаплас теоремаси, яъни (2)- тенгликдан келиб чикади. Чунки транспонирланган матрица учун ни (1) тенгликни, яъни сатр буйича ёйилмасини карасак, бу ёйилма А матрица учун устун буйича ёйилмадан иборат булади, у холда (2) тенгликдан бу га тенглиги келиб чикади. Демак экан.
4-хосса. Агар - матрицанинг икки сатрлари урнини алмаштирсак, хосил булган янги, матрицанинг детерминанти, -матрица детерминантининг тескари ишорасига тенг булади, яъни тенглик уринли булади.
Бу хоссани аввал хусусий хол учун, яъни матрица - матрицадан кетма-кет келувчи икки сатрлари урнини алмаштиришдан хосил булган хол учун исбот килайлик. матрица -матрицанинг ва - сатрлари урнини алмаштиришдан хосил булган булсин, агар матрицани сатри буйича ёйилмани карасак, яъни

экани келиб чикади. Демак бу холда 4-хосса исбот булди. Энди матрица -матрицадан ва сатрларини уринларини алмаштиришдан хосил булган булсин, у холда бу алмаштиришни кетма-кет келувчи сатрлар урнини алмаштириш оркали ифода килиш мумкин булади. Айтайлик куринишда булсин. сатрлар жойлашувидан сатрлар жойлашувига утиш керак, буни куйидагича бажариш мумкин.

бу утишлар сони m га тенг, сунгра
- бу утишлар сони га тенг.
Демак жами бир кадамли утишлар бор экан, демак -матрица детерминанти уз ишорасини ток мартта узгартирар экан, у холда булади.
5-хосса. Агар -матрица бир хил икки сатрга (устунга) эга булса, у холда унинг детерминанти нолга тенг булади.
Хакикатдан хам, агра –матрицанинг i- ва j- сатрлари бир хил булса, у холда уларни уринларини алмаштиришдан хосил булган матрица учун ва булиши керак, яъни бундан эса эканлиги келиб чикади.
6-хосса. Агар - матрица икки сатр (устун) мос элементлари пропорционал булса, у холда унинг детерминанти нолга тенг булади. Хакикатдан хам, -матрицанинг i- сатри мос элементлари j-сатрнинг мос элементларига пропорционал булсин, яъни
(3)
тенгликлар уринли булсин, ерда -пропорционал коэффиценти, у холда, агар матрица матрицанинг i- сатри элементларини, унинг j- сатри элементлари билан алмаштиришдан хосил булган матрица деб карсак, у холда (3) тенглик ва 2-хоссага кура эканлиги келиб чикади, 5- хоссага кура булади, демак экан.
7-хосса. Агар матрицанинг бирон сатр (устун) элементларини бошка сатр (устун) мос элементларининг алгебраик тулдирувчисига купайтириб йигинди хосил килсак, бундай йигинди нолга тенг булади, яъни
.
Хакикатдан хам, - матрицанинг j-сатр элементларини унинг i- сатр элементлари билан алмаштиришдан хосил булган матрицани десак, 5- хоссага кура булади. Агар матрицанинг j- сатри буйича ёйилмасини олсак, детерминант таърифига кура

эканлиги келиб чикади.
Бу ерда 7-хосса ва Лаплас теоремасига кура куйидаги натижани хосил киламиз.
(4)
8- хосса. матрицанинг бирон-бир сатри (устуни) элементларини бир хил сонга купайтириб бошкасига кушишдан хосил булган - матрицанинг детерминанти матрица детерминантига тенг булади, яъни .
Хакикатдан хам,

У холда 4-тенгликдан,

8-хосса исботи келиб чикади.
9-хосса. сонларни n- тартибли матрицанинг берилган сатр (устун) мос элементларининг алгебраик тулдирувчиларига купайтмасининг йигиндиси, матрицанинг берилган сатр элементларининг сонлари билан алмаштирилган матрица детерминантига тенг булади.
Хакикатдан
ва
тенглик уринли булади.
Куйидаги хоссани исботсиз келтирамиз.
10-хосса. Икки n- тартибли квадрат ва матрицалар учун тенглик уринли булади, яъни матрицалар купайтмасининг детерминанти, уларнинг детерминантлари купайтмасига тенг булади.