|
2§ Ko‘phadning ildizi.
^(^o) = 0 bo‘lsa K halqaning xo elementi /(л) e
ko‘phadning ildizi deyiladi.
Teorema 2 dan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. (Bezu teoremasi).
ko‘phad K halqada x- gabo‘linadi, faqat vafaqat shuholdaki, x0-
[л] x0
uning ildizi bo‘lsa.
Isboti:
f ko‘phad x- gabo‘linishi uchun (13) tenglikdagi c=0 Ravshanki (л) л0
bo‘lishi kerak.
c= ^(x0) edi.
c= 0
shart x0- ^( ko‘phadning ildizi degan shart bilan teng kuchli.
■10,16 ga teng. Hisoblashlarni Gorner sxemasi yordamida bajaramiz.
|
1
|
-3
|
6
|
-10
|
16
|
4
|
1
|
41-3q1
|
41-6q10
|
410-10q30
|
4-60+16q136
|
Demak to‘liqsiz bo‘linma
g(X) = X' +x +10x+ 30
Misol 2:
Kompleks koeffitsientli
qoldiq esa
136
ko‘phadning
hisoblaymiz.
/(л) = X + 2yx - (1+ y)x - 3x+ 7 + i
nuqtadagi qiymatini gorner sxemasi yordamida bo‘ladi.
Teoremani ko‘phadning darajasi bo‘yicha induksiya yordamida isbotlaymiz. Nolinchi darajali ko‘phad umuman ildizga ega emas, shuning
uchun bu holda teorema o‘rinli. Faraz qilaylik, teorema barcha ^-1 darajali
" n- daraiali f ko‘phad uchun ko‘phadlar uchun o‘rinli bo‘lsin va undan (у)
teorema o‘rinli ekanini keltirib chiqaramiz.
Teskarisidan faraz qilamiz, ya'ni lar ко phadning ildizi
(y)
П-1 bo‘lsin.
bo lib, n
f ko‘phad у-
Bezu teoremasiga ko‘ra (л)
ga bo‘linadi, ya'ni
/(л) = (л- x^g bo‘ladi, bu yerda (n 1) darajali qandaydir ko‘phad K
elementlari g(X) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. O‘z navbatida
halqaning
/= bo‘lganda fxi = (x^ -x^)g^^-'i = ga ega bo‘lamiz. x - ^ 0 . K halqa esa nolning bo ‘luvchilariga,
edi. Uholda =0 bo‘ladi, 1,2,...,n+l da
xi, X2,...,
nuqtalar ^(x) ko‘phadning ildizlari bo‘ladi. Yuqorida
yani x;,-
= 0 bo‘ladi, bundan ^(x) = kelib chiqadi.
isbotlangan teoremaga ko‘ra
K halqaning 2 ta
Teorema 4. Agar Kcheksiz halqa bo‘lsa, u holda
ko‘phadi orqali aniqlangan funksiyalarning tengligi shu ko‘phadlarning tengligi bilan ifodalanadi.
f ,g(x) e ko‘phadlar bir xil funksiyalarni ifodalasin.
Isboti: (x) ’
A[jx
Bundan ko‘rinadiki
X0 e K uchun ^(x) = g(X0)
f ,g(x) ko‘phadlardagi eng yuqori darajasini n bilan belgilaymiz. K
(x)
halqa cheksiz bo‘lgani uchun unda mavjudbo‘ladi.
n+1 ta har xil elementlar x\,xi,...x+
Farazimizgako‘r^ ^ va g(^) ko Phadlar
(x)
xT,x2
,...x,+
nuqta larning har
birida (va umuman " nuqtada) bir xil qiymatlar qabul qiladi.
/(x) = xulosa kelib chiqadi.
Teorema 3 ning natijasiga ko‘ra
K halqadagi " ^(x) ko‘phad K da aniqlangan va K dagi
Agar qiymatlami qabul qiluvchi funksiyani aniqlasa, teorema4 ko‘phadlar uchun va
fuknsiyalar uchun aniqlangan amallarni mos keltiradi. Agar K halqa cheksiz K dagi har bir ko‘phadga u orqali aniqlanuvchi funksiyani mos
bo‘lsa [,j]
K va K da aniqlangan holda K dagi qiymatlami qo‘yuvchi akslantirish [^]
qabul qiluvchi qandaydir funksiyalar halqasida izormorfizm bo‘ladi.
elementi uchun = 0 tenglik bajarilsa, u holda
Agar ^halqaning
У(л) e
x° element ^[^]
ko‘phadning ildizi deb atalar edi. Berilgan
/(Л)
= algebrik tenglamani yechish masalasi
ko‘phadning ildizini topish yoki 0
matematikaning turli bo ‘ limlarida asosiy o ‘ rin tutadi. Ayniqsa, K- haqiqiy sonlar yoki kompleks sonlar maydoni bo ‘ lganda bu masala yana ham chuqurlashadi.
Algebraik tenglamalarni yechish usullarini, jumladan ko‘phadlar algebrasi hamda guruppalar nazariyasi bo‘limlarida ham ko‘rib chiqilgan. Quyidagi sabablarga ko‘ra maydon ustidagi ko‘phadlarni qaraymiz: Koeffitsiyentlar halqasi maydon bo‘lgan hol yanada muhimroq. Maydon ustidagi ko‘phadlar halqasining xossalari birmuncha sodda. K butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasi P nisbatlar maydoni halqaning ustidagi ko‘phadlar halqasi uchun qism halqa bo‘ladi.
ko‘pgina xossalari halqaning xossalaridan kelib chiqib isbotlanadi. Quyida
"P maydon ustidagi ko‘phadlarning ildizlari haqidagi umumiy teoremalarni isbotlaymiz. f(X) - koeffitsiyentlari pmaydondan olingan ko‘phad bo‘lib xo- uning f ko‘phad x- gabo‘linadi. f^^) ildizi bo‘lsin. Bezu teoremasiga ko‘ra x-x- xgabalki (x- x)
ko‘phad nafaqat vaxatto ning yuqoriroq darajasiga
ham bo‘linishi mumkin.
Hisoblash natijalari ko‘rsatishicha f ko‘phad (x-2) gabo‘linadi,
(л)
(x-2У ga bo‘linmaydi, (qoldiq 7 ga teng bo‘ladi) demak xo- 2 ildizning
ammo
f ko‘phad uchun 3 ga teng ekan. karralisi berilgan (л)
f ko‘phadning (л- ga bo‘linishi ma'lum bo‘lsa, ya'ni
Agar (л) /(л) = (x- Ло)
g(^) bolsava f ning (x-x>) ^^^ga bo‘linishini aniqlash talab
bunda (X)
g(X) ko‘phadning x- ga bo‘linish- bo‘linmasligini aniqlash qilinsa, u holda ло
g(X) x- gabo‘linmaydi faqat va
kerak bo‘ladi. Bezu teoremasiga
3-§ Keltirilmaydigan ko‘phadlar.
Keltirilmaydigan ko ‘ phadlar arifmetikasidagi tub sonlar vazifasini bajaradi. " 1- darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir 2 ta musbat darajali ko ‘ phadning darajasi ham doim >2 bu uning chiziqli ko ‘ paytuvchilarga yoyilmasi, xususan, keltirilmaydigan ko‘phadlarga yoyilmasidan iborat bo‘ladi. Bezu teoremasiga ko‘ra 0 ildizga ega bo‘lgan ko‘phad x- Л0 ga halqada +1 ko‘phad va umuman haqiqiy ildizga ega bo‘lmagan Q[ x halqada esa masalan,
2- darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir.
X3 -2 ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir, chunki uning yagona haqiqiy ildizi
irritsional sondir. Shunday qilib, halqada faqat 1- darajali va haqiqiy ildizga ega bo‘lmagan 2- darajali ko‘phadlar keltirilmaydigandir halqada esa " darajali
keltirilmaydigan ko‘phad mavjud.
Tub sonlar cheksizligining isboti kabi " P maydon ustidagi normallashgan keltirilmaydigan ko ‘ phadlar to ‘ plamining cheksizligini ham isbotlash mumkin. Faraz qilaylik,bunday ko‘phadlar soni chekli bo‘lsin va ular •••P7bo‘lsin ^^lp2 •••p+i ko‘phadni qaraymiz. " musbat darajali ko‘phad
qaysidir keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘linishi kerak lekin ^ko‘phad
PKPi.P.
ko ‘ phadlarning hech biriga bo ‘ linmaydi.Demak f ko ‘ phad ham keltirilmaydigan ko ‘ phad ekan. Olingan qarama-qarshilik keltirilmaydigan ko ‘phadlar to‘plamining chekliligini inkor qiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
