Matematika yo‘nalishi “Ko‘phadni maydon ustida keltirilmaydigan normallangan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyish” mavzusidagi kurs ishi

1- § Halqa ustidagi ko‘phad tushunchasi.

K-" halqa bo‘lsin

Ta’rif: а + ах +... + а Xn

ko‘rinishdagi ifodaga x o‘zgaruvchili ko‘phad deyiladi, bu yerda

n- a0 , ai , a2 , ^ , an

nomanfiy butun son, lar K halqaning elementlari bo‘lib ular

ko‘phadning koeffitsiyentlari deyiladi.

ifodaning koeffitsiyentlari K halqadan olingan bo‘lsa ko‘phadni K halqa ustidagi ko‘phad deyiladi.

Masalan:

1-х2 - 4х3 -3х4,

■2 + 3х -5х3 + 7х5

Lar butun sonlar halqasi ^ ustidagi ko‘phadlardir.

Vs - 2x+^x',1 - -^5x" + 9X

, bularesa haqiqiy sonlar halqasi Rustidagi ko‘phadlardir.

Shuni ta'kidlash kerakki (1) ifoda bir butun yaxlit belgi sifatida qaraladi. Ya'ni hech qanday qo‘shish yoki ko‘paytirish amallari uning alohida qismlari

uchun bajarilmaydi. K halqaning a elementi (k 0,1,2^ -,n) (1)

ko‘phadning oldidagi koeffitsiyenti deyiladi, k >n bo‘lgan holda xk

oldidagi koeffitsiyent nolga teng deb hisoblanadi. Ko‘phadlar belgilanadi.

Ta,'rif Agar ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ^2(x) ko‘phadning

barcha koeffitsiyentlariga mos ravishda teng bo‘lsa, ya'ni

f(X) =40 + a[ x+ 42 x + ... + axT

1 2 ^
f^X) = b0 bx+bX +... + bx

(3) bo‘lib,

bu yerdagi

^1,^, an ^ n b),bl,^, bm ^ n, ^0 = b0, a\~ b\, ^1= ^1, ,a = bJ■^■■■,

bo‘lsa, u holda yoziladi.

^f(^) va f’ix> ko‘phadlar teng deyiladi va f'ix> q f’ix> kabi

(2) va (3) formulalar orqali berilgan ^1(X) va f’(X) ko phadlar uchun

ularning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanadi:

f(X) + f2 = (O) +b>) + (a. +b^)^+ (a, +b,)A^" +... + (a + Ь^)л ^ (4)

a)

(x)

b) ^K^)

(л) = (o°- b) + (й' b)x+ (^^ -b^)x +... + (O b)

x

(5)

bu yerda

к = Max(n, m} m > n bo‘lganda O^= Q va n> m bo‘lganda bn = 0 deb

hisoblanadi.

Masalan:

(2 - x + 3x2 + 5x4) + (1 -x2 + x3- 7x4) =

= (2 + 1) + (-1+ 0)x + (3 -1)x2 + (0 + 1)x3 + (5 + 7)x4 = 3 -x + 2x2 + x3 + 2x 4 v) jf(A) va ^2(^^ ko‘phadlarning ko‘paytmasi barcha tuzish mumkin bo‘lgan

u v ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi, bu yerda u-

f ko‘phadning,v esa ko‘phadning " hadi. O‘xshash hadlarni

(x>

(x)

ixchamlagandan so‘ng quyidagi ko‘]phad hosil bo‘ladi:

(x) = c + c x + c x + c n+ m

/(x) • f

12 0 12

bu yerda

k "L k-^, 2 ^ k-^ , , k 1

CkX = ao^ bx + ax • bk-1x + ox • bk-2x +... + ax • b>=

2- 4:bC X

ck- ^C 4c + а1 4c-i + 4:bk-2 +—+ 4cbi

(7)

(bu yerda yuqoridagi kabi

l > n

bo‘lganda ^j- c /> m bo‘lganda

^.- C

deb hisoblanadi.

Masalan:

(2 - 3х + х3 + 2х 4)(-1 + 3х + 2х 2 ) - -2 + 9х - 5х 2 - 7х3 + х 4 + 8х5 + 4х6kC Xususiy holda, х4 oldidagi koeffitsiyent (7) formula bo‘yicha

quyidagicha hisoblab topiladi:

20 + (-3)0+ 02 + 13+ 2(-1) = 1

Qo‘shish va ko‘paytirishning bunday aniqlash ko‘phadlarning tengligi

^f(^) q ^f(^) va g2( = g2( bo‘lsa, u holda

ta'rifiga mos keladi. Ya'ni agar

yf(x) + gi(X)= ^f(^) + g2(X) ва

gl(^)= g(^2(x) bo‘ladi.

Izox:

Ko‘phadning ifodasidagi ^larfining o‘rnida " boshqa harf bo‘lishi

mumkin. Agar ko‘phadning berilishida bu qaysi harf ekani ma'lum bo‘lsa, u holda ko‘phadning belgilanishini qisqartirib, K’g ' ko‘rinishda yozish

mumkin.

Ko‘phadning (1) ko‘rinishida berilishidan ko‘rdikki, ko‘phad mavjud bo‘lishi uchun uning koeffitsiyentlari berilishi kerak ekan. Bu koeffitsiyentlarni

K halqaning qandaydir elementlari ketma-ketligi o rinishida

ifodalash mumkin. Unga mos holda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bunday ketma-ketliklar ustida aniqlasak, ko‘phadni qisqaroq yozuvda ya'ni ketma-ketlik ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘ladi.

Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish quyidagi xossalarga ega:

K’(^) va ^f(^) ko‘phadlar (2) va (3)

10. Qo‘shishning kommutativligi

formulalar orqali berilgan bo‘lsin. U holda ta'rifga ko‘ra

^T(x) + K2

(x) = (a, bo) + (a, + b1)x + (a, b2)x +_ + (a b^ )x

^f(x) + 4(x) = (bo ^) + (b1 + a)x + (b2 ^2)х +^+(b ^)x

+

(x) =

+ + k = max(n.m) bo‘ladi. K P= halqada 0,1,2,-k qo‘shish ya'ni

a>+b p“b p+ ap bo‘lganda bo‘lagani uchun

JKx) + J2(x)

= 42(x) + 4'(x)

bo‘ladi.

20. Qo‘shishningassotsiativHgi

^1(x>, 42(x>, ko‘phadlar uchun

^3(л) (^T(x) + ^T(x)) + ^T(x) = (^T(x) + ^T(x)) + ^T(x))

tenglikning bajarilishini ^halqada qo‘shishning assotsiativligidan foydalanib, osongina tekshirib ko‘rish mumkin.

З0. Nolning mavjudligi. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo‘lgan ko‘phad nol ko‘phad deyiladi va 0 bilan belgilanadi.

Bu ko‘phad nol element (qo‘shishga nisbatan neytral element) vazifasini bajaradi.

Ko‘phadlarni qo‘shish amalining ta'rifiga ko‘ra " ^(x) ko‘phad /(x) + 0 = /(x) ekanligi tushunarli. Uchun 40. Qarama-qarshi elementning mavjudligi.

^(x) ko‘phaddagi barcha koeffitsientlarni mos ravishda ularning qarama-qarshi lari bilan almashtirishdan (^ ) kabi belgilanadi. Ravshanki ^(x) + (- ^(x)) = 0 xosil qilingan ko‘phadni - ^(x) ya'nifx) ko‘phad ^(x) ko‘phad uchun qarama-qarshi ko‘phaddir.

50. Ko‘paytirishning qo‘shishganisbatan distributivUgi.

3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin.

a,x+ a, + ... + ax

f(x) = a,

f^X) = b -+ b Xj+ b x22 + ... + b X

+

j3(a) = с,

,n

CyX+ c,x + ... + cx

(fix) + J2(a))j^(x) x>^3i xl + g2i^)^3ixl

(8)

ekanini isbotlaymiz.

f(^) + f ko‘phad (4) formula orqali berilgan ko‘phadlarni ko‘paytirish

(^)

amalining ta'rifiga ko‘ra

( Дл) + fx) f

( x) = ddx+ d x+ +d p+‘

1 2 3 0 1 2

p+e

bu yerda

di= (a0 + b 0)^^+ (a1 + b1)^i-1 + ... + (af+ b a)^)

^halqada distributivlikning o‘rinliligidan foydalanib ^^ni ko
‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda

d yig‘indi

d= a c_ at +ac + +ac

k 0 A 1 k-1 2 k-2 k0

dk = ^b0CA+ b1 ^f-! + 'b2CA-2 +••• + bA^^0

/1{ X) f ko‘phaddagi ^ oldidagi koeffitsiyent ekanligi kelib chiqadi.

1(x>

Bundan (8) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi xuddi shu mulohazalardan foydalanib 2- distributivlik

j3(A)( j/A) + j22(X) = A3(x) ■ A/A) + J3(A) ■ j2( A)

ham isbotlandi.

10-50 xossalardan ko ‘ ramizki, koeffitsiyentlari Khalqadan olingan ko‘ phadlar

to ‘ plamining o ‘ zi ham ko ‘ phadlar ustida aniqlangan qo ‘ shish va ko

‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.

Bu halqa Khalqa ustidagi ( xo‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib, kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham

qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko ‘ rinishda berilgan ko ‘ phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani аТ(л) - ^Г(^) - = ^r(X> + (-/(A))

ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi. ^li o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada n= 0 bo‘lgan holda halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali, halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, ^lalqa

ta'rifdan ko‘rinadiki Kuchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi.

Masalan:

6 + 03X -4X + 0-Л4 ko‘phad 6 +3X-kabi yoziladi.

aX

ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni

a^x, ax , ax

birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo ‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi.

(-a)X ax birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun

(-a)X birhadni qo‘shish degandako‘phaddan birhadni

qandaydir ko‘phadga axk

ayirish tushuniladi. Bu «-» ni ko‘phadlarni ayirish sifatida qarab +( a)X

o‘rniga - Masalan:

yozish imkonini beradi.

1 + (-3)^+ 2x

ko‘phad o‘rniga

1 - 3x+ 2л2

ko‘phadni yozish mumkin.

Endi K halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. /<л) = 1x ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,

(/<^))2 = p^x)pKx) = 1x"

(pK = (/<^))2/<^) = 1x3

= lx

b ‘i d- K[^\ haiqada ko‘phadni ^elementga ko‘paytirsak,

IX =aX hosil bo‘ladi. Odatda (/(Х)У ifodani p(X) kabi belgilash

ishlatiladi.

Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida жКХ]

ao+ + ■■■ + a(/i^))n= a+ a^+ + 2. + aX n

ga ega bo‘lamiz^

Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi?

Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi,

a^,aУ,a.,■■■,a, elementlar va K halqaning /(^)

o‘ng tomonida esa

elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi.

/(^) deb

Shuning uchun K halqadabirlik element mavjudbo‘lsa biz

belgilagan ko ‘ phadni x harfi orqali ifodalab ko ‘ phadning formal ifodasiga mazmun berdik.

Ko ‘ phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko ‘ phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz.

Ta’rif:

Noldan farqli bo‘lgan

f X) = a+ ax+ ax + ... + ax

0 12 n

ko‘phadning darajasi deb,

bo‘lgandagi eng katta ksoniga aytiladi.

Nol ko‘phadning darajasi - ¥ deb hisoblanadi. f x ko‘phadning darajasi ^4^. f kabi belgilandi.

(Л)

Darajasi

Nolinchi darajali ko‘phad- bu Khalqaning noldan farqli elementidir.

n- 0 bo‘lgan " ko‘phad

a+ a x+ a X + ... + ax

0 1 2

ko‘rinishda yoziladi, bu yerda koeffitsiyentindeyiladi. Ko‘phadlaming yig‘indisi va ko‘paytmasini ifodalovchi (4) va (6)

max{n^m dan ko‘paytma ko‘phad formulalardan ko‘rinadiki yig‘indi ko‘phad esa n+m dan yuqori darajali hadga ega bo‘lmaydi.

Bundan

др.( ^r(X) + ^f(^)) < maxima. jfXiga. f.(

л-зр. f^(X) ■ j2(a) <лзр. jf X) + лзр. j2(X)

(9)

(10)

munosabatlar kelib chiqadi.

Hozirga qadar biz K halqaga hech qanday shart qo‘ymadik. (Ko‘paytirishning kommutativligi yoki assotsiativligini talab qilmadik).

halqada ko‘paytirish amali yuqoridagi u yoki bu hossani qanoatlantirishi uchun bu xossalarning Khalqada o ‘ rinli bo ‘ lishini talab qilish lozim bo ‘ ladi. Shu nuqtai nazardan K halqada butunlik sohasi bo ‘ lishini, ya'ni birlik elementli nolning bo ‘ luvchilariga ega bo ‘ lmagan, kommutativ,assotsiativ halqa bo ‘ lgan holni ko‘rib chiqamiz.

Shunday qilib qaralayotgan ko‘phadlarning koeffitsiyentlari butunlik sohasidan olingan bo‘lsin.

^butunlik sohasi bo‘lganda ko‘phadlarni ko‘paytirish amali uchun o‘rinli bo

‘lgan bir nechta qo‘shimcha xossalar kelib chiqadi.

60. Ko‘paytirishning kommutativligi, ko‘paytirishning ta'rifidan (6) va

(7) formulalardan bevosita kelib chiqadi. Avvalo bir hadlarni ko‘paytirishning

va birhadlar uchun

kommutativligini isbotlaymiz.

0^= 00"= bo‘ladi.

K olmorlo Ъ'Г\'’тчол7+1-г1 с1л rro-ni x"- bX' = bx 3/?=^ bo‘ladi, demak,

bo‘ladi.

Endi va lar ko‘phadlar bo‘lsin ko‘phad

(^)

1 ^ . 1 1 • 1 и u v ko‘rinishdagi ko‘paytmalaming

barcha tuzish mumkin bo Igan • с- • , и А u f' ko‘phadning hadi, ^esa ko‘phadning

indisiga teng, bunda t' ь ^

Masalan:

(2 - 3x+ )(3 + 5л) = 2 • 3 + 2 • 5x+ (-3л)5х+ л^ • 3 + л^ • 5л

^ , f^(x}• ko‘phadbarchatuzishmumkinbo‘lgan

Bunga mos ravishda (^) v • I ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bunda ham uva ^lar yuqoridagi ma'noga ega.

Masalan:

(3 + 5x)^(2 - 3x + x2) = 3^2 + 3^(-3x) + 3^ x2 + 5x^2 + 5x^(-3x) + 5x^x2

Yuqorida isbotlandiki, birhadlarning ko‘paytirish kommutativ u holda f ko‘phadning " ^ladi va ^f(^) ko‘phadning " ^ladi uchun u v= v u

(^)

tenglik o‘rinli. Bundan

f(^x) • ^2(л) = ^2(л) • ^1(л)

kelib chiqadi.

70. Ko‘paytirishning assotsiativligi.

(f(^) ,f(j)) .f ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan (uV)

ko‘rinishidagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bu yerda u- f’(X)

f ko‘Phadning w- 43 ko‘phadning hadi.

Xuddi ko‘phadning, v-42 (л

(^) л

^T(^) • (f2(^) • 43 ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan u (v W)

shuningdek, (^)) ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisidan iborat, bunda va

yuqoridagi ma'noga ega. Shuning uchun ^ u,v,H birhadlar uchun

{u- V) w- u(v ekanini isbotlash kifoya.

n f m

ax, bx , cx

birhadlar uchun

{aX - bxm) - cx" - aXn+m - cx" - abcXnm+p aX - {bxm - cx) - ax - bcX^^"- abcxn+m+ p(ab)c— a^bd)

bo‘lgani uchun (ax ■ bxm ■ cX = an ■ (dx ■ cX )

bo‘ladi.

0 K halqaning birlik elementi

80. Birlik elementning mavjudligi.

(ko‘paytirish amaliga nisbatan neytral elementi)K halqaning birlik elementi bo‘ladi. Haqiqatdan ham ko‘phadlarni ko‘paytirish amalining ta'rifiga ko‘ra,

"X" ko‘phad uchun

1^ /(л) = /(л)

bo‘ladi.

Xususiy holda, 1^ x= x shuning uchun ko‘phadning yozuvida, odatda

birga teng koeffitsiyentlar yozilmaydi.

90. Ko‘phadning nolning bo‘luvchilariga ega emasligi.

ta noldan farqli ko‘phadlar berilgan bo‘lsin:

ax+02 +... + a X-1 +aX

^(X> = a, n-1

+

g^^) = b+ bx+ bx^ + + b X + bx

0 1 2

m-\ mm

Ularning ko‘paytmasi noldan farqli bo‘lishini ko‘ramiz. Ta'rifga ko‘ra

(ab +ab\x+ + (a b+a b ) —+ m-1 + b n+m

/(x)g'x) = a b

0 0 0 1 1 0

-1m n m-\

bo‘lgani uchun

/(X)g.X) ko‘phaddagi x+m oldidagi koeffitsient 4^4; ga teng

bo‘ladi. K da nolning bo‘luvchilari bo‘lmagani uchun a4m ^ 0 bo‘ladi va demak {x)g^Xi Ф 0 bo‘ladi.

60-90- xossalardan ko‘rinadiki, uchun quyidagi teorema keltirildi.

Teorema 1.

Butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasining o‘zi ham butunlik sohasi bo‘ladi. Ko‘phadlar halqasida bo‘lish amali agar uni odatdagi ma'noda qaralsa,

bajarilmaydi. bu formulalar

b0’bl’b2’•••’b'-\ va c larni ketma-ket aniqlash imkoniyatini

beradi. Yuqoridagi mulohazalardan ko‘rinadiki (13) tenglikni qanoatlantiruvchi g(^) ko‘phad va ^element mavjud va u bir qiymatli aniqlanadi.

^= ekanini isbotlash uchun (13) tenglikdan foydalanib,

{7— y(x) )

ko‘phadning

nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz:

b(x0 ) = g(x0 )(x0 — x0 ) + c

bundan

Z( x0) = c

kelib chiqadi.

Teorema isbot bo‘ldi.

2 0 1

Ta'rif. Agar