Matematika va Informatika

Ta‘rif. Istalgan s> 0 son uchun shunday S> 0 son mavjud bo’lsak |x -a|

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х nuqtalar uchun |f (x) - b| <s tengsizlik bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x a dagi) limiti deb ataladi.

Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f(x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda (a — , a + ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning qiymatlari (b — s, b + s) intervalda yotadi.

Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

2-misol:

=2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang

Yechish: f(x)= funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida masalan (4;6) intervalda qaraylik.

Ixtiyoriy s>0 sonni olib

|f (x) - b|

= = = =

x>4 ekanini hisobga olsak =x>4 bo’lib

< kelib chiqadi. Bundan ko’rinib turibdiki = 4s deb olsak, u holda 0 <| x - 5 |< tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x (4;6) uchun

< tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni = funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.

Ta’rif: Istalgancha katta M>0 sonni olsak = >M tenksizlik < bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar

deb olinsa, < tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun > M yoki >M tengsizlik bajariladi. Bu esa x funksiya cheksizlikga intilishini bildiradi ya’ni

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Ta’rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta

qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)-b< tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y = f (x) funksiyaning x dagi limiti deb ataladi va bu

kabi yoziladi.

3-misol:



Yechish: f(x)= funksiyani qaraylik. Istalgan >0 sonni olsak

bo’lib N= desak, barcha uchun < = tenksizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f(x)= funksiyaning x dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

T a’rif. Agar f (x) funksiya хning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x) >M tengsizlik bajarilsa, y = f (x) funksiya x da cheksizlikka

intiladi deyiladi va kabi yoziladi.

4-misol.

ekani isbotlansin.

Yechish: f(x)= funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib >M tengsizlikni tuzamiz. bundan kelib chiqadi. N= deb olinsa, >N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun =M tengsizlik bajariladi. Bu ekanini bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi

Teorema. Agar f (x) funksiyaning a nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda y= f (x) funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isbot: chekli son bo’lsin. U holda limitni ta’rifiga binoan istalgan son uchun shunday > 0 son topilib

(a - , a + ) intervaldagi barcha x lar uchun |f (x) – b| < yoki

|f (x)| - b| < | f (x) - Ь <s , bundan

|f (x)| < |b + bo’lishi kelib chiqadi.

Agar M = | b | + deb olinsa a nuqtaning -atrofidagi barcha x lar uchun |f (x)| <M tengsizlik bajariladi. Bu f(x) funksiya (a - , a + ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.

Agar f(x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini takidlab o’tamiz.
Bir tomonlama limitlar

Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limitining ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x a - 0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va yoki yoki =f(a-0) kabi yoziladi.

Agar a=0 bo’lsa, u holda =f(-0) kabi yoziladi.
Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limiti ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₂ limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x a +0 dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi va b₂ = yoki b₂ = , yoki =f(a+0) kabi yoziladi.


lim f (x) = f (+0) kabi yoziladi.

x—+0




Agar a=0 bo’lsa, u holda

f(x) funksiyaning x=a nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. = bo’lsa, u holda f(x) funksiya x=a nuqtada limitga ega.

Aksincha, f (x) funksiyaning a nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a - 0) = f (a + 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya a nuqtada limitga ega bo’ladi.

	1,	agar	x > 0	bo' Is a,
f (x) = signx = •	0,	agar	x=0	bo' Is a,
	-1,	agar	x < 0	Bo’ Is a

Masalan,

funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (-0) =-1, f (+0) =1 va f (-0) f (+0) (86-chizma). Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

4. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.

Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.

Bunda isbot faqatgina x a hol uchun o’tkaziladi (x da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, x a ni ham, x да ni ham yozmaymiz.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni
lim( (x) + u₂ (x) +... + u_n (x)) = lim (x) + limu₂ (x) +... + lim u_n (x)

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. Lim u₁(x) = a, lim u₂(x) = b bo’lsin. U holda lim(u(x) + u₂(x)) = a + b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan = a + a, u₂ = b + 0 deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi а, -cheksiz kichik funksiyalar.

D













emak, + u₂=(a + a)+(b + 0) = (a+b)+(a+0). Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, а,b- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak

lim(u +u₂)=a +b=lim +lim ekanligi kelib chiqadi.

1-misol: = =
2-misol: = =

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim( (x) • (x) •... • (x)) = lim (x) • lim u₂ (x)... lim (x)
Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. lim =a, limu₂=b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan = a + a, u₂ = b + 0 bo’ladi, -cheksiz kichik funksiyalar. Demak, • u₂ = (a + )(b + ) = ab + ( b + + ). Bu tenglikdagi ab- o’zgarmas son, (ab + + )- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak lim u₂= ab= lim • limu₂ ekanligi kelib chiqadi.

3-misol:


= =(2+3)(2-4)=5

4-misol:

= = =(1-0)(2+0)=2

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqazish mumkin, ya’ni lim C • u(x) = C lim u(x) chunki lim C = C.

5-misol.



Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv 0 bo’lsa,

lim = bo’ladi.

Isbot. Lim u(x) =a, limv(x)=b 0 bo’lsin. U holda u=a+ , v=b+ bo’lishini hisobga olsak


+ = +

Tenglikga ega bo’lamiz, bunda o’zgarmas son

cheksiz kichik funksiya chunki cheksiz kichik funksiya va b(b+

So’ngi tengsizlikga 16.5-teoremani 2-qismni qo’lasak

lim = tenglik hosil bo’ladi.

6-misol:

ni toping.

Yechish: =7 . Shuning uchun: = = = =1

7-misol:

ni toping.

Yechish: bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.

Suratning limiti

bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini topamiz. = = = =0

Bundan = kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz katta funksiya bo’ladi.

Teorema: Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha x lar uchun y=f(x) va ( b chekli son) bo’lsa u holda b