Matematika o’qitish metodikasi

8.Mavzu: Differensial va integral hisob. Nyuton, Leybnits hayoti va ijodi. Ayrim matematik olimlar asarlarida differensial va integral hisobi.


Reja:

1. 
   Chеksiz kichiklаr hisоbining shаkllаnishi.
   
2. 
   Diffеrеnsiаl hisоb usullаri.
   
3. 
   Lеybnisning аsаrlаridа diffеrеnsiаl vа intеgrаl аtаmаlаrining kеlib chiqishi.
   
4. 
   Аyrim mаtеmаtik оlimlаr ishlаrining diffеrеnsiаl vа intеgrаl tushunchаlаrining rivоjlаnishdаgi аhаmiyati.
   

Diffеrеnsiаl hisоb bo’yichа ishlаrni bоshlаb bеrgаn оlimlаrdаn biri Fеrmа bo’lib, u ushbu ikki mаsаlа eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаrni tоpish, urinmаlаr o’tkаzish bilаn shug’ullаngаn. Fеrmа bu mаsаlаlаrni yеchishdа infinitеzimаl хаrаktеrdаgi usullаrni ishlаtgаn. Bu mаsаlаlаr yеchimlаri 1679 yildа (uning vаfоtidаn kеyin) chоp etilgаn «Eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаrni tоpish usuli» nоmli ishidа bаyon qilingаn.

Egri chiziqlаrgа urinmаlаr o’tkаzish mаsаlаsini hаm shu usul bilаn yеchish mumkinligini ko’rsаtib, u А оrqаli urinmа оstini vа Е bilаn uning оrttirmаsini bеlgilаydi, egri chiziq tеnglаmаsidаn fоydаlаnib, tаqribiy tеnglik tuzаdi vа yuqоridаgi kаbi аmаllаrni bаjаrаdi, nаtijаdа А ni аniqlаsh tеngligini hоsil qilаdi.
Lеybnis hаm N’yutоn bilаn bir vаqtdа bu mаsаlаlаr bilаn shug’ullаndi. Uning bu sоhа bo’yichа muhim хizmаtlаridаn biri nоmlаr vа bеlgilаshlаr mаjmuаsini ishlаb chiqqаnligidir, chunki zаrur simvоlikаning yo’qligi fаn rivоjigа to’siq bo’lаdi. Lеybnisning diffеrеnsiаl vа intеgrаl hisоbidаgi bеlgilаshlаri shundаy o’ylаb tоpilgаn vа qulаyki, ishning mоhiyatigа shundаy mоs kеlаr ediki, hоzirdа hаm ulаr muhim o’zgаrishlаrsiz kеng qo’llаnilmоqdа.
Lеybnisning chеksiz miqdоrlаr hisоbigа bаgishlаngаn ilk mаqоlаsi 1684 yildа «Nа kаsr, nа irrаtsiоnаl miqdоrlаr to’sqinlik qilа оlаdigаn eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаr hаmdа urinmаlаrning yangi usuli vа uning uchun o’zigа хоs hisоb» nоmi bilаn bоsmахоnаdаn chiqdi. Bu mаqоlаdа birinchi mаrtа diffеrеnsiоnаl (lоtinchа-differentia-аyirmа) so’zi qo’llаnilаdi. Bu tushunchа gеоmеtrik jihаtdаn аniqlаnib (diffеrеnsiаlning gеоmеtrik mа’nоsi), o’zgаrmаs miqdоrni, yig’indini, аyirmаni, ko’pаytmаni, dаrаjаni, ildizni diffеrеnsiаllаshgа оid bo’lgаn «hisоblаsh qоidаlаri» ni kеltirаdi. Shundаy qilib, N’yutоn tеzlikni ilk tushunchа dеb qаrаgаn bo’lsа, Lеybnis uchun bоshlаng’ich tushunchа bu yеrdа urinmа tushunchаsi bo’lib chiqаdi.
Shundаy qilib, intеgrаl hisоbi Lеybnis аsоsiy tushunchа rоlini «аktuаl» chеksiz kichik bo’lgаn to’g’ri to’rtburchаklаr ydx ning yig’indisi o’ynаydi. N’yutоndа esа аsоs bоshlаngich funksiyadir.
Frаnsuz mаtеmаtigi Jаn Lеrоn Dаlаmbеr (1717-1783) yangi hisоbni аsоslаsh uchun birinchilаprdаn bo’lib hаrаkаt qildi vа bundа N’yutоnning birinchi vа охirgi nisbаtlаr usuligа tаyandi, uni limitlаr usuli shаklidаn rivоjlаntirdi. Diffеrеnsiаl hisоbni rаsiоnаllаshtirib, lеkin uni охirigаchа yеtkаzа оlmаdi. K. Mаrks «Mаtеmаtik qo’lyozmаlаr» idа Dаlаmbеr hаqidа gаpirib, «diffеrеnsiаl hisоbdаn mistik libоsni оlib, Dаlаmbеr оldingа ulkаn qаdаm qo’ydi» dеb yozаdi.
Dаlаmbеr funksiya оrttirmаsining argumеnt оrttirmаsigа nisbаtining limiti tushunchаsini tеzlik аsоsidа bаyon etishgа qаrshi chiqdi, chunki tеzlikning o’zi hаm tеkismаs hаrаkаtdа хuddi shundаy limit bilаn ifоdаlаnаdi. U limit tushunchаsini оydinlаshtirishgа hаrаkаt qildi. Dаlаmbеr fikrichа, «limit hеch qаchоn u limiti bo’lib hisоblаngаn miqdоr bilаn ustmа-ust tushmаydi yoki ungа tеng bo’lmаydi». Bu bilаn u o’zgаruvchi miqdоrning limitgа mоnоtоn intilishini ko’zdа tutgаn edi. Dаlаmbеrning limit usuli ikkitа miqdоr uchinchisi uchun limit bo’lsа, ulаr tеng, ko’pаytmаning limiti limitlаr ko’pаytmаsigа tеng bo’lishigа tаyanаdi, lеkin bundаy g’оyalаr u vа uning mаslаkdоshlаri tоmоnidаn аmаlgа оshirilmаy qоldi. Bu fikrlаr kеyinchаlik mаtеmаtik аnаliz islоhi uchun аsоs bo’lib хizmаt qildi.
Eylеr intеgrаl hisоbdа bа’zi funksiyalаrni intеgrаllаsh usullаrini tоpdi. Eylеrning ishlаrini frаnsuz mаtеmаtigi Jоzеf Lui Lаgrаnj (1736-1813) dаvоm ettirdi. U mаtеmаtik аnаlizning yangi bo’limi-vаriаsiоn hisоbni rivоjlаntirishdа muhim nаtijаlаrgа erishdi.
Yangi hisоbni yarаtish bo’yichа mа’lum yutuqlаrgа erishilgаn hаmdа uning ko’pаlb аmаliy mаsаlаlаr tushunchаlаri-diffеrеnsiаl vа intеgrаl hаnuzgаchа аniqmаs bo’lib qоlаyotgаn edi. Shuningdеk, аgаr diffеrеnsiаl chеksiz kichik vа nоldаn fаrqli bo’lsа, ikkitа diffеrеnsiаl ko’pаytmаsini tаshlаb yubоrish mumkinmi? Chеksiz kichiklаrning chеksiz sоndаgi yig’indisi nimаdаn ibоrаt? Аgаr ulаr nоlgа tеng bo’lsа, yig’indisi nоlgа tеng; аgаr ulаr nоldаn fаrqli bo’lsа, yig’indisi chеksizgа tеng bo’lаdi. Umаmn, chеksiz kichikning o’zi nimа? Bu kаbi sаvоllаr jаvоbsiz edi.
Bu sаvоllаrgа ijоbiy jаvоbni frаnsuz mаtеmаtigi Оgyustеn Lui Kоshi (1789-1857) tоpdi. U аsоs qilib chеskiz kichik diffеrеnsiаlni emаs, bаlki ikkitа diffеrеnsiаl nisbаti ni, ya’ni funksiyaning hоsilаsini tаnlаdi.
Nеmis mаtеmаtigi Kаrl Tеоdоr Vilgеlm Vеyеrshtrаss (1815-1897) mаtеmаtik аnаlizni mаntiqiy аsоslаshdа o’zi yarаtgаn hаqiqiy sоnlаr nаzаriyasigа аsоslаndi. Shuningdеk, u limit nuqtаlаr hаqidаgi tа’limоtni rivоjlаntirdi.
Hоzirgi pаytdа diffеrеnsiаl vа intеgrаl hisоb mаtеmаtikаning eng muhim usullаridаn biri bo’lib, mаtеmаtikаning turli sоhаlаrini rivоjlаntirishuchun аsоs bo’lib хizmаt qilmоqdа.
9.Mavzu: Ehtimollar nazariyasi rivojlanish tarixi. Ehtimollar nazariyasi fanining atoqli namoyondalari. Chiziqli algebra va ko’p o’lchovli geometriya. Matematik olimlarning bu fan rivoj yo’lidagi ilmiy faoliyatlari


Reja:

1. 
   Ehtimollar nazariyasining rivojlanishi.
   
2. 
   Ehtimollar nazariyasining kelib chiqishida ayrish
   
3. 
   Ehtimollar nazariyasi fanining atoqli namoyondalari.
   
4. 
   Chiziqli algebra bo’yicha dastlab kitoblar.
   
5. 
   Chiziqli algebra rivojlanishida ayrim matematik olimlarning roli.
   
6. 
   Kryuniker-Kapelli teoremasi.
   
7. 
   Determinlar nazariyasi, Kramer qoidasi.
   
8. 
   Ko’p o’lchovli geometriyaning vujudga kelishi.
   

Ehtimollar nazariyasi quydagi masalalarni yechishda rivojlana bordi:

1. 
   Bir nechra o’yin soqqasini tashlaganda tushishi mumkin bo’lgan turli hollar sonini hisoblash.
   
2. 
   O’yinning yarmi tugaganda yutuqning o’yinchilar orasida taqsimlanishi.
   

Uchta soqqani tashlaganda mumkin bo’lgan hollar sonini Richardo de Fornival (1200-1250) hisoblashga harakat qilgan. U bunday hollar 56 ta ekanligini ko’satadi, uchta soqqani tashlaganda teng imkoniyatli hollar jami soni esa 6*1+30*3+20=216 ga teng ekanligini topdi. U uchala soqqada tushgan ochkolar yig’indisining hosil bo’lishi mumkin bo’lgan usullari soni hisoblangan jadvalni tuzadi.
Uyg’onish davrining birinchi matematika kitoblaridan biri italyan matematigi va dindori Luka Pacholi (1445-1514) tomonidan yo’zilgan «Arifmetika, geometriya, nisbatlar va proporstionalliklar bo’yicha bilimlar yig’indisi» (1914) kitobi hisoblanib, unda «ajib masalalar» bolimida quydagi masalalar keltirilgan edi:

1. 
   Kompaniya to’p o’yinida 60 ochkogacha o’ynaydi va 22 dukat yutuq qo’yadi. Ba’zi bir holatlarga asosan o’yin oxiriga yetmasdan tugatildi, bunda bir tomon 50, ikkinchisi 30 ochkoga ega edi. Har bir tomon yutuqning qancha qismini olishi kerak?
   
2. 
   Uch kishi arbalet (pistolet)dan o’q otishda musobaqalashayapti. Kim birinchi bo’lib 6 marta eng yaxshi nishonga tekkizsa, yutadi. Yutuq 10 dukat. Birinchisi 4 ta, ikkinchisi 3 ta va uchunshisi 2 ta eng eng yaxshi natijalarga erishganda otishni to’xtatdilar va yutuqni adolatli taqsimlashga qaror qildilar. Har birining ulushi qanday?
   

Pacholi taklif etgan yechim ko’p bahsga sabab bo’ldi, chunki u xato hisoblangan edi. U birinchi masalada yecimni quyidagicha topdi: I o’yinchi yutuqning qismini, II o’yinchi qismini olishi kerak, ikkinchi masalada esa birinchisi 4 va dukat, ikkinchisi 3 va dukat, uchunchisi esa 2 va dukat olishi kerak, deb topdi.
Italyan matematigi Jirolamo Kardano (1501 - 1575) «Soqqa o’yin haqida kitob» qo’lyozmasida (1526 yil so’ngra 1563 yilda bosilib chiqqan) o’yin soqqalari tashlaganda ularda u yoki bu sondagi ochkolar sonining chiqishiga bag’ishlangan ko’plab masalalar yechilgan. U ikkita va uchta soqqani tashlaganda tushushi mumkin bo’lgan hollar soni to’g’ri hisoblanadi. Masalan ikkita soqqani tashlash vaqtida quyidagi mulohazalarni yuritadi: «Ikkita soqqani tashlaganda ikkita bir xil son 6 ta holda va turli sondagi ochkolar tushushi 15 ta holda bo’lishi mumkin ya’ni bunda ikkilangan hollarni qo’shib hisoblaganda 30 hol, demak, hamma mumkin bo’lgan hollar 36 ta».
Umuman Paskal, Firma va Gyugens ehtimol tushunchasiga yaqinlashadilar, lekin imkon beruvchi hollar sonining barcha mumkin bo’lgan hollar soniga nisbatidan nari o’ta olmadilar. Bu XVII asrda ro’yobga chiqmasdan balki, XVIII asrda amalga oshirildi. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini rivojlantirishda Jon Graunt (1620 - 1675) va Uilyam Petti (1623 - 1687) ning Demografya bo’yicha tadqiqotlari muhim ahamiyatga ega bo’ldi. Bu ishlar bilan yana mashhur ingliz astronomi Edmund Galley (1656 - 1742) ham shug’ullanib, hayotning davom etish ehtimoli tushunchasini kiritdi. Uning hisoblarida qo’shish va ko’paytirish teoremalari asosida yotuvchi prinsiplar, katta sonlar qonuniga yaqin mulohazalar ishlatilgan.
Yakob Bernullining «Farazlar san’ati» (1713) asarida mukammal bo’lmasada ehtimol tushunchasi kiritilgan.
Italyan matematigi Nikkolo Tartal’ya (1500-1557) «O’lchov va son haqida risola» (1556) asarida Pacholning birinchi masalasi uchun (o’zgartirilgan shart bilan) quyidagi echimini taklif etdi: 10 ochko to’plagan birinchi o’yinchi birinchidan butun yutuqning yarmini ikkinchidan, butun yutuqning qismini yoki yoki dukat, ya’ni hammasi bo’lib 14 va dukat, ikkinchisi esa 7 va ikkinchisi olishi kerak. Bu yechim ham xato edi.
Galileo Galileyning (1564-1642) «Soqqa o’yinda ochkolar chiqishi haqida» (1718 yilda bosilib chiqqan) kitibi uchta soqqani tashlaganda tushishi mumkin bo’lgan hollar sonini hisoblashga bag’ishlangan. Mumkin bo’lgan hollar soni 6 ni (bir soqqani tashlaganda tushishi mumkin bo’lgan hollar ) uchinchi darajaga ko’tardi va 6³=216 ni topdi u yana soqqalarda tushgan ochkolar yig’indisi u yoki bu qiymatga ega bo’lishini hosil qilish uchun zarur usullar hisoblanadi.
Ehtimollar nazariyasi fransuz matematiklari Blez Paskal (1623-1662) va P’yer Ferma (1601-1665) yozishmalarida vujudga keldi, deb hisoblash mumkin. Bu yozishmalardan Paskalning uchta xati (29 iyul, 24 avgust va 27 oktabr, 1654 yil) va Fermaning to’rtta xati (kuni yozilmagan xat, 9 avgust, 29 avgust, 25 sentyabr, 1654 yil) saqlanib qolgan.
Paskal va Ferma ehtimol tushunchasi yo’q va ularning ikkalasi ham hodisaning ro’y berishi uchun imkoniyatlar sonini qarash bilan chegaralanganlar. Birinchi bo’lib ular yutuqni taqsimlash haqidagi masalani to’g’ri hal qildilar.
Paskalning ehtimollar nazariyasi masalalariga qiziqishiga fransuz qiroli saroyi xizmatchi Sheval’ye de Mere (1607-1648) bilan ushrashuvlari va suhbatlari sabab bo’lgan.
Fransuz matematigi Feliks Eduard Jyusten Emil’ Borel’ (1871-1956)p=0, 5 uchun (1909 yil) Bernulli sxemasiga qaraganda kuchliroq mulohazani isbotladi. 1917 yilda esa Italyan matematigi Kaptella bu mulohazani ixtiyoriy p uchun tatbiq etdi:

(bu kuchaytirilgan katta sonlar qonuni deb ataladi). Bu qonunni A. N. Kolmogorov (1930) umumlashtirdi.

Yetarli va zaruriy shartlarni rus matematigi Yuriy Vasil’yevich Proxorov (1929 yilda tug’ilgan) (1958-59 yillar) topdi.
Ehtimollar nazariyasi fanining atoqli namoyondalari qatoriga matematiklar Boris Vladimirovich Gnedenko (uning juda ko’plab ishlari va o’quv qo’llanmalari ehtimollar nazariyasini o’qitishda keng qo’llanilmoqda, u bu nazaraiyaning tarixchisi sifatida ham ilmiy ishlar yozgan, mazkur bo’lim ham uning bu ishlari asosida yozildi), Aleksandr Yakovlevich Xinchin (1894 - 1959), Andrey Andreyevich Markov (1856 - 1922) va o’zbek matematiklari T. A. Sarimsoqov (1915 - 1995), S. H. Sirojiddinov (1921 - 1989) kiradi.
Hozirgi davrda ehtimollar nazariya rivojlanishida yangi yo’nalishlar – tasodifiy miqdorlarni optimal boshqarish, martingallar nazariyasi, tasodifiy operatorlar, algebraik strukturalarda ehtimollik qonuniyatlari vujudga kelmoqda. Bu yo’nalishlar ham umumiy, nazariy, ham amaliy ahamiyat kasb etmoqda.
Chiziqli algebra bo’yicha eng birinchi kitoblardan biri Xitoyda yaratilgan (milod. avv. 152 yilda) Chjan Tsan tomonidan tuzilgan, so’ngra eramizgacha I asrda (Gen Choy-k), III asrda (Lyu Xuey), VI asrda (Chjen’ Luan) va VII asrda (Li Chun’fen), qayta ishlangan va to’ldirilgan) (1957 yilda E. I. Berezkina ruscha tarjima qilgan) «To`qqiz kitobli matematika» asari 246 ta masala va uning yechimlarini o’z ichiga olib, quyidagi bo’limlardan tashkil topgan:

1. 
   Uchishni o’lchash
   
2. 
   Donli ekinlarning turlari orasidagi munosabat. (proportsional bo’lishga, sonlarning teskari qiymatlarini topishga oid masalalar).
   
3. 
   Zinapoyalar usulida bo’lish.
   
4. 
   Shao-guan (to’g’ri to’rtbo’rchakning berilgan yuziga va tomoniga ko’ra uning boshqa tomonidan aniqlash).
   
5. 
   Ishlarini baholash (devorlar qurilishi, damba minoralar qurilishidagi hisoblashlar).
   
6. 
   Soliqlarni adolatli taqsimlash.
   
7. 
   Ortiqcha-kamchilik (chiziqli tenglamalar, ularning sistemalari, yechish usullari) va h. k
   

Bu bo’limda beshta chiziqli tenglamadan iborat sistemalarni yechish usuli berilgan. Sistemalarni yechishda «fan-chen» qoidasidan, ya’ni determenantlar nazariyasi bo’yicha almashtirishlar qo’llanilgan. Almashtirish jarayonida matritsalarda manfiy sonlarni kiritdilar. Qo’shish va ayirish uchun «chjen-fu» («plyus-minus»)» qoidasidan foydalanganlar. Hisoblashlar hisob taxtasida olib borilib, manfiy sonlarni belgilash uchun boshqa rangdagi yoki shakldagi hisob tayoqchalari ishlatilgan, yozuvda turli xil rangdagi ierogliflar qo’llanilgan.
Ma’lumki V-XII asrlarda Hindistonda matematika fani tez sura’atlar bilan rivojlandi. Bunda qo’yidagi matematiklar muhim ilmiy natijalarni qo’lga kiritdilar: Ariabxata I (476-taxminan 250 yil) (astranom va matematik, asosiy asari «Ariabxatiam” (499) da sonlardan kvadrat va kub ildiz chiqarish, tenglamalarni tuzishga va yechishga oid masalalar, xususan, ikki noma’lumli bir tenglama, natural sonlarning kublari yig’indisi hamda ning 3, 1416 taqribiy qiymati keltirilgan), Bramagupta (Braxmagupta) (598 –taxminan 660 yil) astranom va matematik, uning asosiy asari she’riy yo’l bilan yozilgan «Brama sistemasini qayta ko’rib chiqish» (628 yil) bo’lib, arifmetika va algebraga bag’ishlangan. Arifmetik progressiya ta’limoti va haqiqiy yechimlar bo’lgan hollarda (barcha hollar uchun) kvadrat tenglamalarni yechish bayon qilingan, aniqmas tenglamaning butun yechimlarini bilgan, ratsional tomonlarga ega bo’lgan to’g’ri burchakli tuzush qoidasi hamda ning = 10 shaklidagi taqribiy qiymati unga ma’lum bo’lgan, Magavira [(814/815-880) (matematik, asosiy asari «Matematika qisqa kitobi»bo’lib unda sonni kasrga bo’lish qoidasi birinchi marta uchraydi ax+by=c shaklidagi aniqmas tenglamalarni mos butun sonlar uchligini topish qoidasi bilan yechgan, arifmetik progressiya hadlarining kvadratlari va kublari yig’indisini topgan, foizga doir masalalar yechgan va h. k. Ariabxata II (X asr) (astranom va matematik, uninig ishlarida birinchi marta 9 soni bilan ko`paytirish, qoldiqli bo'lish, kvadrat va kub ildizlarni tekshirish bayoni berilgan, trigonometrik jadvallar tuzush bilan ham shug’ullangan, Bxaskara II (1114-1185) matematik va asranom, uning asosiy asari «Sistemaning durdonasi» (taxminan 1150 yil) bo’lib uning ikki qismi «Lilavati» va Vidjaganiti» matemetik jihatdan qiziqish uyg’otadi: «Lilavati» 13 bo’limdan iborat: metrologiya, butun va kasrlar ustida amallar hamda kvadrat ildiz chiqarish, masalalarni yechishda teskarisini, bo’linmani topish usuli, turli masalalar, qator yig’indisini topish, yuz, turli hajmlarni hisoblash, chegaralanmagan masalalar, tebranishlar masalalari.
«Vidjanganiti» musbat va manfiy sonlar ustida amallar; birinchi va ikkinchi tartibli aniqmas tenglamar; chiziqli algebraik tenglamalar; kvadrat tenglamalar; chiziqli tenlamalar sistemalari; ikkinchi tartibli aniqmas tenglamalar. Ko’rinib turubdiki, hind matemetiklari o`z ishlarida chiziqli algebrani rivojlantirishda ma’lum natijalarga erishganlar.
Chiziqli algebrani rivojlantirishda nemis matematigi Leybnitsning xizmatlarini alohida ta`kidlab o’tish maqsadga muvofiq. Chiziqli tenglamalar sistemasini yozishda u indekslardan foydalandi, masalan, uch noma’lumli uchta chiziqli tenglama sistemasini quyidagicha yozgan:
10+11x+12y=0
20+21x+22y=0
30+31x+32y=0
Shuningdek, u determinant tushunchasini kiritdi hamda determinantlar nazariyasiga taalluqli ba’zi bir g’oyalarni taklif etdi.
Keyinchalik bu sohada nemis matematigi Leopol’d Kronekker (1823-1891) ish olib borib, chiziqli tenglamalar sistemasini determinantlar yordamida yechish va bunda indekslardan foydalanish yo’llarini ko’rsatdi. Shuningdek, uning nomi bilan ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish alomati ataladi. Chiziqli tenglamalar sistemalari bo’yicha fransuz olimi Et’yenn Bezu (1739-1783) «Gardemarinlar uchun matematiklar kursi» asarida determinantlar nazariyasini rivojlantirib, Eylerning yo’qotish usulini yanada takomillashtirdi. U aniqmas ko’paytuvchilar usulini tenglamalar sistemalarini yechishga tatbiq etdi. Shvetsariyalik matematik Gabriel Kramer (1704-1752) 1750 yilda harfiy koeffitsiyentli n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglama (chiziqli) sistemasini yechish qoidasi (Kramer qoidasi)ni e’lon qildi. Determinantlar nazariyasiga asos soldi, lekin bunda hali u qulay belgilashlardan foydalanmagan edi.
XIX asrda determinantlar nazariyasi belgilashlarini takomillashtirishda fransuz matematigi Aleksandr Teofil Vandermont (1735-1796) ning xizmatlari katta bo’ldi. U determinant uchun alohida belgilash kiritdi va bu bilan mazkur nazariyaning yanada riojlanishiga katta ta’sir o’tkazdi. Fransuz matematigi Ogyusten Lui Koshi (1789-1857) determinantlar nazariyasini rivojlantirdi, bunda determinantlarning asosiy xossalarini topdi, xususan, ko’paytirish teoremasini isbotladi va bu teoremani matritsalarga ham qo’lladi.
Parij akademiyasining a’zosi P’yer Simon Laplas (1749-1827) chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda minorlar va turli xil o’rin almashtirishlardan foydalanishni ko’rsatdi.
Karl Fridrix Gauss (1777-1885) birinchi bo’lib determinant atamasini kiritdi («Arifmetika», 1801 yil). Nemis matematigi Karl Gustav Yakob Yakobi (1804-1851) determinantlar nazariyasida barakali ijod qilib, uni rivojlantirishda ma’lum hissa qo’shdi. Shuning dalolati sifatida uning nomi bilan ataluvchi matritsa va determinantlarni keltirish mumkin, funktsional determinantlardan ham u ilmiy ishlarida keng foydalandi.
Chiziqli algebraning keyingi rivoji bevosita matematik analiz va guruh nazariyasining qullanishi bilan bog’liq.
Ko’p o’lchovli geometriyaning asosiy tushunchalari asosan N. I. Lobachevskiy davridan boshlab vujudga kela boshladi. Nemis matematigi Georg Fridrix Brenxard Riman (1826-1866) Lobachevskiy geometriyasiga asoslanib, uch o’lchovlidan ziyod bo’lgan fazoning mavjudligini isbotladi.
Keyinchalik ingliz matemetigi German Gyunter Grasman (1809-1877) «Uzoqlik haqidagi ta’limoti» nomli asarida ko’p o‘lchovli Yevklid fazolari hamda ixtiyoriy vektorlarning skalyar ko’paytmasini kiritdi. Boshqacha aytganda, u ko’p o’lchovli fazoda metrik munosabatlarni o’rgandi.
Ko’p o’lchovli fazoning ta’rifini birinchi bo’lib ingliz matematigi Artur Keli (1821-1895) kiritgan bo’lsa, 1854 yilda Gyottigen universitetida qilgan mashhur ma’ruzasida Riman ko’p o’lchovli fazo haqidagi ta’lomotini yanada rivojlantirdi. Umumlashgan riman fazolarining kiritilishi, yangi riman geometriyasining paydo bo’lishi geometriya rivojida istiqbolli yo’llarni ochib berdi.
Matematikning muhim bo’limlaridan biri funktsional analiz ham elementlari turli-tuman tabiatdagi ob’ektlar masalan, egri chiziqlar yoki sirtlar, bir yoki bir necha o’zgaruvchili uzluksiz funktsiyalar, haqiqiy sonlarning chekli sistemalari yoki ketma-ketliklari bo’lgan fazo bilan ish ko’rib, matematikani nazariy jihatdan takomillashtirishda muhim ahamiyat kasb etmoqda.
XIX asrning ikkinchi yarmida fizikaning gurkirab rivojlanishi va texnikaning taraqqiyoti tufayli matematika tez rivojlandi. Geometriyada yangi tushunchalar: vektor, tenzor paydo bo’ldi. Moddiy sistemani xarakterlash uchun uchtadan ko’proq parametr talab qilinadi. Uch o’lchovli Yevklid fazosi torlik qilib qoldi. Nisbiylik nazariyasida to’rt o’lchovli fazo qaraladi, kvant mexanikasida sistemaning holati cheksiz o’lchovli miqdorlar bilan ifodalaniladi. Matematikada to’rt o’lchovli, n o’lchovli va cheksiz o’lchovli (funktsional fazolar) fazolarni tekshirishga o’tildi.