Matematika o’qitish metodikasi

10.Mavzu: Cheksiz qatorlar tarixi. Cheksiz qatorlarning qo’llanishi. Trigonametrik qatorlari. Hozirgi davrda O’zbekistonda matematikaning rivojlanishi


Reja:

1. 
   Cheksiz qatorlarning qo’llanilishi
   
2. 
   Dotamber, lagranj asarlarida cheksiz qatorlar to’g’risida
   
3. 
   Eyler, Fur’elarning trigonometrik qatorlar nazariyasi rivojlanishidagi roli
   
4. 
   Boshqa bir qancha olimlarning trigonometrik yoyilmasi haqidagi fikrlari
   

Differensial va integral hisobining yaratilishi bilan parallel ravishda cheksiz qatorlar qarala boshladi. 1668 yilda matematik, astronom va muhandis Ni­kolaus Merqator (1620—1687) logarifmlarni hisoblash usullariga bag’ishlangan «Logarifmotexnika» nomli kichik bir asarning oxirgi boblarining birida, asimptotalarga nisbatan yozilgan xy=1 giperbolaning kvadraturasi bilan shug’ullanadi va x=1+a deb, giperbolaning tenglamasini y = shaklda yozadi. Bo’lish yo’li bilan Merqator geometrik progressiya yoilmasiga ega bo’ladi:

= 1 — a + a² — a³ +... ,
uni a bo’yicha hadma-had integrallab, giperbolaning yuzi uchun ma’lum bo’lgan
qatorni hosil qiladi. U qatorning qo’llanilish sohasini ko’rsatmadi.
Vilyam Broukye r (1620—1684)

xususiy formulaning sof geometrik isbotini berdi.
Nyuton bundan bir oz oldinroq cheksiz qatorlar bilan shug’ullanib, turli ifodalarini darajali qatorlarga yoyib, ularning flyuksiya va flyuentalarini topishni darajalar ustidagi amallarga olib keldi. U qatorni aylantirishga, ya’ni bir miqdorning ikkinchi miqdorning darajalari bo’yicha yoyilmasidan ikkinchisining birinchi miqdorining darajalari bo’yicha yoyilmasini keltirib chiqarishga harakat qilib logarifmik qatordan ko'rsatkichli qatorni hosil qildi.
Nyuton cheksiz qatorni algebra teglamalarini, differensial tenglamalarni yechish uchun ham qo’lladi. Bu qo’llangan usul o’z mohiyatiga ko’ra aniqmas koeffisiyentlar usuli edi.
Leybnis ham 1693 yilda differensial tenglamalarni integrallash uchun aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalangan. sonini ifodalovchi

qator ham birinchi marta 1682 yilda Leybnis tomonidan e’lon qilingan. U I. Bernulliga yozgan xatlarida yig’indilariga «yaqinlashadigan» qatorlar haqida so’zlaydi, ammo shu bilan birga 1—1 + 1 — 1+... qatorning yig’indisi 1/2 ga teng degan fikrga qo’shiladi.
Cheksiz qatorlar bo’yicha aka-uka Iogann va Yakob Bernullilar shug’ullanib, Yakob (1689—1704) qatorlar bo’yicha qilingan ishlar bayonini berdi. Yoganni, so’ngra Yakob

cheksiz garmonik qatorning yig’indisi cheksizligini isbotladilar.

1715 yilda ingliz matematigi Bruk Тeylorning «Ayirmalar usuli, to’g’ri va teskari» nomli kitobi chop etilib, unda chekli ayirmalar qaraldi va so’ngra li­mit hol deb cheksiz kichik ayirmalarga va ularning nisbatiga o`tiladi, z ning x funksiyasining orttirilgan qiymati uchun z miqdorning v orttirmasining darajalar bo’yicha yoyilmasi

ni topadi. Bu Тeylor qatori deb atala boshlandi.

Makloren 1742 yilda chop etgan «Flyuksiyalar haqida traktat» asarida bu formulaning ahamiyatini ochib berdi. Bu qatorni Makloren boshqacha usul bilan keltirib chiqardi: y x ning darajalari bo’yicha yozilgan, koeffitsiyentlari aniqmas bo’lgan yoyilmani asos qilib, uni takror differensiallaydi va har gal z=0 deb koeffisiyentlari ketma-ket aniqlaydi. Shunday usulda binominal qatorni keltirib chiqardi. Shuningdek, bu asarda: musbat hadli qatorlarning yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi bo’lishining integral alomatini (geometrik shaklda, keyinroq uni analitik ravishda Koshi isbotlagan); berilgan ko’rinishdagi hadlarning yig’indisi biror integralni hisoblash bilan bog’lovchi Eyler-Makloren formulasini keltirib chiqardi (bu formulani u mustaqil topgan, Eyler esa uni oldinroq topgan edi).
1730 yildan boshlab Eylerning qatorlar nazariyasi bo’yicha ajoyib ishlari bosilib chiqa boshladi. U birinchi bo’lib, limitga utishni faraz qilib, binomial qatordagi ko’rsatkichli va logarifmik qatorlarni kel­tirib chiqardi. O`sha usul bilan cosnz va sinnz ning ma’lum formulalaridan kosinus va sinus uchun qatorlar hosil qildi. U darajali qatorni ko’phadga o’xshatib ko`paytuvchilarga ajratdi, sinus va boshqa funksiyalarni cheksiz ko`paytma ko’rinishda tasvirladi. Birinchi hadlari bir xil bo’lgan ikki hadlarni o’zaro ko’paytirish qoidasidan foydalanib,

formulalarni va shunga o’xshash boshqa formulalarni topdi.
Eyler kompleks qatorlarni ham tekshirib, sinx, cosx, e^x lar uchun qatorlarini taqqoslash orqali bu funksiyalarni bog’lovchi formulalarni keltirib chiqardi. Eyler qatorlarning faqat analizga emas, balki algebra, sonlar nazariyasiga va boshqa sohalarga tatbiqlarini ko’rib chiqqan. Lekin qatorlarning yaqinlashishi masalalariga beparvolik bilan qaragan va uzoqlashuvchi qatorlarni bemalol qo’llayvergan, masalan,

yoyilmalarni qo’shib,

qator 0 ga teng degan xulosaga keladi.
Uzoqlashuvchi qatorlardan foydalanishga Dalamber qarshi turib, ular yordamida chiqarilgan mulohazalar agar ular haqiqatga mos kelsa ham shubha bilan qarar edi. Uningcha, qator aniq bir joygacha yaqinlashib, faqat keyin uzoqlasha boshlashi va aksincha ham bo’lishi mumkin.
Lagranj «Analitik funksiyalar nazariyasi» (1797) asarida differensial hisobni «chekli miqdorlarning algebraik tahliliga» keltirishga harakat qiladi, berilgan f(x) funksiya uchun
f{x -i) =f{x) +pi+qi²+ri³+…
yoyilma o’rinli deb faraz qilib, bunda p, q, r,... lar x ning funksnyalari, «funksiyaning ketma-ket hosilalarini» ushbu munosabatlardan foydalanib, yoyilmaning koeffitsiyentlari orqali to’g’ridan-to’g’ri aniqlaydi. Bu asarda Тeylor formulasining qoldiq hadi uchun formulani keltirib chiqarib, uning vazifasi qator-ning keyingi hadlarini hisobga olmaslik natijasida hosil bo’ladigan xatoni baholashni yengillashtirishdan iborat.
Qatorning yaqinlashishini Lagranj umumiy hadning nolga intilishidan iborat deb tushunadi, unda yaqinlashuvchi qator yig’indisi tushunchasining ta’rifi yo’q. Fransuz matematigi Fur’e o’zining «Issiqlikning analitik nazariyasi» (1811 yil; 1822 yilda bosilib chiqqan) asarida qatorning yaqinlashishiga va uning yig’indisiga to’g’ri ta’rif berdi, shu bilan birga qatorning yaqinlashishi uchun uning hadlari nolgacha «uzluksiz kamayishi» mutlaqo yetarli emasligini ta’kidladi.
1813 yilda Gaussning

qatorga doir umumiy tekshirishlar (bu «gipergeometrik» qator deb ataladi) asarida yaqinlashish alomatining dastlabki turli ta’rifini berdi va keltirilgan qatorning yaqinlashishi haqidagi masalani uning yordamida hal etdi.
Qator yig`indisi, uning uzoqlashuvchi yoki yaqinlashuvchi bo’lishi tushunchalarining ta’riflari limit tushunchalariga asoslangani uchun ular Bol’sano (1817 yil) va Koshi (1821 Pil) ishlardan keyin vujudga keldi. Ular qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishining zaruriy va yetarli shartini topdilar. Koshi musbat hadli qatorining yaqinlashuvchi bo’lishi uchun etarli bir necha sodda va qulay alomatlar topgan. Sungra u qatorning yaqinlashishidan qatorning yaqinlashishinil keltirib chiqargan. Bunda Koshi noabsolyut yaqinlashish qatorining boshqa xossalariga ta’sir etishini aniqlagan.
Koshi «Algibraik analiz» (1821 yil) asarida haqiqiy va kompleks o’zgaruvchili darajali ayirmalari tekshirib, yaqinlashish sohasi, yaqinlashish radiusi ifodasini berdi, asoslamagan holda u yaqinlashish» oralig’ida qatorni hadma-had defferensiallaydi. U funksio­nal qatorlar sohasida uzluksiz funksiyalardan tuzilgan yaqinlashuvchi qator yig’indisi uzluksiz ekanini (1821) va bunday qatorni hadma had integrallash mumkinligini (1823) qatorining yaqinlashshiga hech qanday shart qo’ymasdan isbotlamoqchi bo’ladi. Abel 1826 yilda qatorni mlisol keltirib, Koshining birinchi mulohazasini rad etadi.