Matematika o’qitish metodikasi

3.Mavzu: Son tushunchasining rivojlanishi. Al-Xorazmiyning «Hind sonlari haqida» asarining roli


Reja:

1. 
   Natural son;
   
2. 
   Musbat kasr son, manfiy son, nol soni, irratsional son;
   
3. 
   Sanoq sistemalari, kompleks sonlar;
   
4. 
   «Hind sonlari haqida » nomli asar.
   

Son – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, kishilarning amaliy ehtiyojlardan kelib chiqqan. Sonlarning vujudga kelishi va taraqiyoti tarixi ilk bosqichlari qo’yidagicha bayon etishi mumkin:

Natural son buyum va turli narsalarni sanash ehyiyoji tufayli paydo bo’lgan.
Musbat kasr son – miqdorlarni o’lchash va taqsimlash ehtiyoji tufayli vujudga kelgan.
Manfiy sonlar matematikaning o’z ehtiyojlari, ya’ni algebraik tenglamalarni yechish va nazariy asoslash sababli yaratilgan.
Nol soni- manfiy sonlarning kiritilishidan paydo bo’lgan.
Bu ro’yxatni davom ettirish mumkin, lekin biz yuqorida tilga olingan sonlardan so’ng vujudga kelgan irratsional sonlar tarixi haqida ma’lumutlarni bayon etishga kiritamiz.
Pifagor maktabida ratsional sonlar har qanday kesmalarni aniq o’lchash uchun yetarli emasligi isbotlangan, o’lchovdosh bo’lmagan kesmalar mavjudligi isbotlangan
Pifagorchi Gippas Metaponskiy ishini davom ettirib, shu asr oxirida Teodor Kireniskiy 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, kvadrat birlik yuzga ega bo’lgan kvadratlarning tomonlari birlik kvadratning tomoni bilan o’lchovdosh emasligini, ya’ni irratsional ekanligini isbotladi. Teetet esa ixtiyoriy butun N son uchun sonning irratsionalligini asosladi.
Cheksiz kesma geometrik miqdorlarni butun va kasr sonlar yordamida o’lchanmaslgini anglagan pifagorchilar geometriya va algebrani sonlar haqidagi sonlar haqidagi ta’limot yordamida emas, balki geometriyaning o’zi yordamida asoslashtirdilar. Geometrik algebra yaratildi va rivojlandi.
Arab Sharqi mamlakatlarda VII asrdan boshlab matematika rivojlandi. Bu davrda son tushunchasining rivojlanishida Markaziy Osiyolik olimlardan Al-Xorazimiy (783-850), Abu Rayxon Beruniy (973-1048), Abu Ali ibn Sino (980-1037), Abu Nasr Farobiy (873-950), Umar Hayyom (1048-1131) va boshqalar muhim kashfiyotlar qildilar. Jumladan:

1. 
   Oltmishlik sanoq sistemasi takomillashtirildi
   
2. 
   Sonlardan kvatrat ildiz chiqarish usullari ishlab chiqildi
   
3. 
   O’nli kasrlar kashf etildi
   
4. 
   Binom formulasi isbotladi
   
5. 
   Musbat haqiqiy son tushunchasi kengaytirildi.
   

Al-Xorazimiy o’zining «Hind hisobi haqida» asarida o’nlik sanoq sistemasini batafsil bayon etgan bo’lsa-da, u faqat 300 yildan so’ngina keng qo’llanila boshlandi.
Manfiy sonlarni fransuz olimi Nikola Shuyukening «Son haqidagi fan» asarida uchraydi. Bu sonlar haqidagi birinchi tasavvurlar Hindiston va Xitoy matematiklari asarlarda mavjud bo’lgan.
Arab matematiklari manfiy ishorani «dushman», musbat ishorani «do’st» sifatida qarab har xil ishorali sonlar ko’paytmasining ishorasi haqida hayotiy «qoidalar»ni talqin etganlar.
Irratsionallik sohasida Eron matematigi Al-Karxiy «Al-faxriy» kitobida kvadrat va kub ildizlardan iborat ko’p hadlar qiymatlarni topadi. Murakkab bo’lmagan ko’p ildizlar ustida shakl almashtirishlarni amalga oshiradi.
Ratsional atamasi lotinchadan «Ratio» – «nisbat» so’zidan kelib chiqqan bo’lsa, irratsional tushunchasi ratsional bo’lmagan ma’noda ishlatiladi. V-VI asrlarda Rimlik matematiklar Marsian Kapilla va Kassiodor bu atamalarni lotinchaga «ratsinonal» va «irritsional» deb tarjima qilganlar.
Yevklid «Negizlar» asarida irratsional sonlarni geometrik nuqtayi nazardan bayon etadi.
Hindiston, O’rta va Yaqin sharq matematiklari algebra, trigonometriya va astronomiya rivojlantiradi.
Yunonlar irratsional miqdorni «Alogos»- so’zlar bilan ifodalanmaydigan deb, arablar esa «asamm»- gung deb atashgan.
XVI asrda italyan matematigi Rafael Bombilli va gollang matematigi Simon Stevin ham irratsional songa qaraganda kuchli son deb qaraganlar.
Umar Hayyom «Yevklidning qiyin postulotlatlariga sharhlar» nomli asarida o’sha davr matematikasining nazaryasini kiritdi ularni son deb atadi.
Umar Hayyom son haqidagi tushunchasiga yangilik kiritdi. Hayyom irratsional miqdor bilan son orasidagi farq yo’qligini ko’rsatdi.
Sharqda va keyinchalik o’rta asr Yevropasida «Yevklidning bayoni» asari ikki xil variantda yetib kelgan, birinchisi, qisqa bayonli va ikkinchisi 10 ta kitob mufassal bayoni 1594 yilda Rimda chop etilgan. Bu asarda olim kvadrat irratsional ustida fikr yuritadi.
O’rta va uzoq Sharq matematigi va astromlari oltmishlik kasrlardan foydalanganlar.
Bu sohada buyuk o’zbek matematigi astronomi Ulug’bek ilmiy maktabining yirik olimlardan biri G’iyossidin Jamshid al-Koshiy ish olib borib, «Arfmetika kaliti» asarining 3-qismida son talimotini rivojlantirdi. Shuningdek, binomni butun musbat darajaga ham birinchi bo’lib, Koshiy keltirib chiqardi. Mazkur asarda turli kasrlar: suratlari birdan iborat bo’gan misr kasrlari, maxrajlari oltmishga teng bo’lgan Bobil kasrlari, surat va maxrajlari sonlardan iborat oddiy kasrlar ularning yozilish usullari ular ustida amallarni bajarish va boshqa kasrlar bayon qilingan. Al-Koshiy o’nli kasrlar ustida amallar bajarish qoidalarini ifodaladi va ko’p misollarda tushuntirib berdi.
Yevropada o’nli kasrlar haqida Koshiy zamonidan 1,5 asr o’tgandan so’ng Golland matematigi Simon Stevin 1585 yilda asar yozdi. U 1594 yilga yozgan yana bir «Algebraga ilovalar» asarda o’nli kasr olindi. «O’nlik» asarida g`oyalarni rivojlantirib, o’nli kasrlarni haqiqiy songa cheksiz yaqinlashtirish uchun ham ishlatish mumkinligini ko’rsatdi. XVI asrda irrarsional tushunchasini kiritish va asoslash formal usulda bo’lib o’nli kasrlarni hisoblash g’oyasi yaratildi.
Buyuk fransuz faylasufi, matematigi, fizigi va fiziolog olimi Rene Dekartning «Geometriya» asari paydo bo’lishi ixtiyoriy kesmalarni o’lchash bilan ratsional son tushunchasi kengaytirish orasida bo’g’liqlikni osonlashtirdi.
XVI-XVII asrlarga kelib Yevropada son tushunchasi haqiqiy son tushunchasiga harakati boshlandi.
Uzluksiz miqdor va son tushunchasi orasidagi uzulishni tugatish uchun Dekart har qanday miqdorni to’g’ri chiziq kesmasi bilan ifodaladi. Kesma bilan bergalikda sonlar ustidagi har bir amalga kesmalar ustidagi geometrik amalni mos qo’yadi.
Sonning yangi ta’rifi ingliz olimi Issak Nyuton tomonidan «Umumiy arifmetika» asaridan bayon etildi. Eyler va nemis matematigi Iogann Genrix Lambert esa agar cheksiz o’nli kasr davriy bo’lsa u ratsional sonni ifodalashligini isbotladilar. XVIII asr boshiga kelib ratsional sonlar to’g’risida uch fikr paydo bo’ldi: ratsional sonlarning aniq chiqarilganmaydidan ildizlari; har qanday aniqlikdagi ratsional yaqinlashishlar ketma-ketligi; Nyuton ta’rifiga asoslangan sonlar. Oxirgi ta’rif fanda bir yarim asr hukm surgan bo’lsa ham haqiqiy sonlar nazariyasining yaratilishiga mantiqiy asos bo’lib xizmat qila olmadi.