Andijon davlat universiteti pedagogika fakulteti boshlang

---

•   

     ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI 

          PEDAGOGIKA FAKULTETI 

    BOSHLANG’ICH TA’LIM VA SPORT 

      TARBIYAVIY ISHI YO’NALISHI 1- 

    BOSQICH 103-GURUH TALABASI 

    BOTIROVA MISPIRABONUNING 

 BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI 

 NAZARIYASI FANIDAN TAYYORLAGAN  

 

       MUSTAQIL ISHI  

MAVZU:TO’PLAMLAR NAZARIYASI.  

BAJARDI:BOTIROVA MISPIRABONU 

TEKSHIRDI:ABDULLAYEVA NAFISAXON 

 

 

---

•   

                                            REJA: 

I. 

KIRISH. 

II.  ASOSIY QISM: 

1. To’plam nazariyasi. 

2. To’plam va uning elementi.Chekli va cheksiz 

to’plamlar. 

3. To’plamlarning dekart ko’paytmasi 

III.  XULOSA.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

•   

          Toʻplamlar nazariyasi – matning toʻplamlar 

umumiy xossalarini oʻrganadigan boʻlimi. Toʻplam 

tushunchasi matematikaning boshlangʻich 

tushunchasidir. Toʻplamlar nazariyasi asoschilari chex 

matematigi B. Boltsano va nemis matematigi G. Kantor. 

Toʻplamni tashkil qilgan obʼyektlar uning elementlari 

deyiladi. Agar x element A toʻplamning elementi boʻlsa, 

u holda x ye A kabi belgilanadi, aks holda x yoki A kabi 

belgilanadi. Agar A toʻplamning elementlari soni chekli 

boʻlsa, A toʻplam chekli toʻplam, aks holda esa A 

toʻplam cheksiz toʻplam deyiladi. Masalan 1000 dan 

kichik juft sonlar toʻplami chekli toʻplamga, haqiqiy 

sonlar toʻplami esa cheksiz toʻplamga misol boʻladi. 

Agar A toʻplamning har bir elementi V toʻplamga 

tegishli boʻlsa, A toʻplam V toʻplamning qism toʻplami 

deyiladi va A va V kabi belgilanadi. A va V 

toʻplamlardan kamida bittasiga tegishli elementlar 

toʻplamiga A va V toʻplamning birlashmasi (yigindisi) 

deyiladi va A  V kabi belgilanadi. A va V toʻplamlarning 

har ikkalasiga tegishli elementlar toʻplami A va V 

toʻplamlarning kesishmasi (koʻpaytmasi) deyiladi va An 

V kabi belgilanadi. Agar A va V toʻplam elementlari 

orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin 

boʻlsa, ularning quvvati teng deyiladi. Agar A tuplam bn 

natural sonlar toʻplami orasida oʻzaro bir qiymatli 

moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, A toʻplam sanoqli 

---

•   

toʻplam deyiladi. Toʻplamlar nazariyasi XIX asr oxiri — 

XXasr boshlarida rivojlangan boʻlib, mat.ning 

differensial tenglamalar, ehtimollar nazariyasi, 

topologiya, funksional analiz, matematik mantiq, 

funksiyalar nazariyasi sohalarida keng qoʻllaniladi.  

To’plam tushunchasi matematikaning asosiy 

tushunchalaridan biridir va shuning uchun u boshqa 

tushunchalar orqali ta’riflanmaydi.Uni misollar 

yordamida tushuntirish mumkin.Jumladan biror 

sinfdagi o’quvchilar to’plami haqida, natural sonlar 

to’plami haqida gapirish mumkin. Ba’zi hollarda 

to’plamlar lotin alfavitining A, B, C…, Z harflari bilan 

belgilanadi.Birorta ham ob’ektni o’z ichiga olmagan 

to’plam bo’sh to’plam deyiladi va    belgi bilan 

belgilanadi. To’plamni tashkil etuvchi ob’ektlar uning 

elementlari deyiladi.To’plam elementlarini lotin 

alfavitining kichik harflari a,b,c…,z  bilan belgilash qabul 

qilingan. To’plamdagi elеmеntlarning ushbu to’plamga 

qarashli ekanligini quyidagicha bеlgilaymiz. aA a 

elеmеnt A to’plamga qarashli. Agar birоr elеmеnt 

to’plamga qarashli bo’lmasa. U holda Ï dan 

foydalaniladi. M: A = {1, a, b, c 4} bo’lsin u holda 

quyidagilar o’rinli 1A, aA, bA, cA, 4A, 5 Ï A, dÏA, k Ï A. 

Agar to’plam elеmеntlarini sanash mumkin bo’lsa 

bunday to’plam chеklangan to’plam dеyiladi. Agar 

ularni sanash mumkin bo’lmasa bunday to’plam 

---

•   

chеksiz to’plam dеyiladi. Masalan, haftadagi kunlar 

to’plami chekli, to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plami esa 

cheksizdir. Matematikada bunday to’plamlar uchun 

maxsus belgi qabul qilingan: N harfi bilan natural sonlar 

to’plami belgilanadi, Z – butun sonlar to’plami, Q – 

rasional sonlar to’plami, R – haqiqiy sonlar to’plami. [0; 

1] sigmеnt kantinеum quvvatli to’plamdir. Unga 

ekvivalеnt to’plamlar chеksiz to’plam hisоblanadi. 

Iхtiyoriy kichik kеsma ustidagi nuqtalar to’plami 

kantinеum quvvatli to’plamga ekkvivalеnt to’plamdir. 

Dоiraning markazidan to’gri chiziqlar o’tkazsak 

dоiraning bir nеchta nuqtalari to’gri chiziqning bitta 

nuqtasiga akslanadi. Bu akslantirishda dоira nuqtalar 

to’plami to’gri chiziq nuqtalari to’plamiga akslantirish 

bo’lib bu to’plamlar katinеum quvvatli to’plamdir. Ya`ni 

chеksiz to’plamdir. Ikkita A va B to’plam bеrilgan 

bo’lsin birоr f qоida bo’yicha A to’plamning har bir х 

elеmеntiga B to’plamning y elеmеntini mоs kеltiraylik. 

U hоlda shu qоidani A to’plamni B to’plamga 

akslantirish dеyiladi. Quyidagicha bеlgilanadi. F: A ®B 

yoki AB To’plam o’z elementlari bilan aniqlanadi, ya’ni 

agar ixtiyoriy ob’ekt haqida u biror to’plamga tegishli 

yoki tegishli emas deyish mumkin bo’lsa, bu to’plam 

berilgan deb hisoblanadi.  To’plamni uning barcha 

elementlarini sanab ko’rsatish bilan berish mumkin. 

Masalan, agar  biz  A to’plam  3, 4, 5 va 6 sonlardan 

---

•   

tashkil topgan desak, biz bu  to’plamni bergan bo’lamiz, 

chunki  uning barcha elementlarini sanab ko’rsatildi. 

Uni bunday yozish mumkin: A={3, 4, 5, 6} bunda sanab 

ko’rsatilgan elementlar katta qavslar ichiga yoziladi. 

Xarakteristik xossa – bu shunday xossaki, to’plamga 

tegishli har bir element bu xossaga ega bo’ladi va unga 

tegishli bo’lmagan birorta ham element bu xossaga ega 

bo’lmaydi.  Masalan, ikki xonali sonlar to’plami A ni 

qaraylik. Mazkur to’plamning ixtiyoriy elementi ega 

bo’lgan xossa – “ikki xonali son bo’lishlikdir”. Bu 

xarakteristik xossa biror bir ob’ektning A to’plamga 

tegishli yoki tegishli emasligi haqidagi masalani echish 

imkonini beradi. Masalan, 21 soni A to’plamga tegishli, 

chunki u ikki xonali son, 145 soni esa A to’plamga 

tegishli emas, chunki u ikki xonali son emas. Ta’rif: Agar 

B to’plamning har bir elementi A to’plamning ham 

elementi bo’lsa, B to’plam A to’plamning qism to’plami 

deyiladi. Agar B A to’plamning qism to’plami bo’lsa, B A 

kabi yoziladi va bunday o’qiladi: “B A ning qism 

to’plami”. “B to’plam A ga kiradi”. Ta’rif: Agar A B va B 

A bo’lsa, A va B to’plamlar teng deyiladi. Agar A va B 

to’plamlar teng bo’lsa, u holda A = B kabi yoziladi. 

Kesishmaydigan to’plamlar umumiy nuqtaga ega 

bo’lmagan ikkita doira yordamida tasvirlanadi. 

To’plam elementlarining kelish tartibi muhim 

bo’lgan hollarda, matematikada elementlarning 

---

•   

tartiblangan naborlari haqida gap boradi. Mazkur 

masalada biz tartiblangan  juftliklar bilan ish 

ko’ramiz. a va b elementlardan tashkil topgan 

tartiblangan juftlikni (a, b) bilan belgilash qabul 

qilingan, bunda a element juftliklarning birinchi 

koordinatasi (komponentasi), b element esa bu 

juftlikning ikkinchi koordinatasi (komponentasi) 

deyiladi.  (a, b) va (c, d) juftliklarda a = c va b = d 

bo’lgan holdagina bu juftliklar  teng bo’ladi. Ikkita 

turli to’plamlar elementlaridan ham tartiblangan 

jutliklar hosil qilish mumkin. Masalan, A = {1, 2, 3} 

va B = {3, 5} to’plamlarni olamiz va mumkin 

bo’lgan tartiblangan juftliklarni shunday hosil 

qilamizki, jutliklarning birinchi komponentasi A 

to’plamdan, ikkinchi komponentasi esa B 

to’plamdan tanlab olinsin. Ushbu to’plamga ega 

bo’lamiz:  {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)} 

Formal xarakterga ega bo’lgan ushbu masalaga 

konkret ma’no berish  mumkin bo’gan barcha ikki 

xonali sonlarni shunday hosil qilingki,bunda 

o’nliklar raqami 1,2,3 raqamlardan tanlab 

olinadi,birliklar raqami esa 3 yoki  

5 raqami bo’lishi 

mumkin. Ta’rif. A va B to’plamlarning Dekart 

ko’paytmasi deb birinchi komponentasi A 

to’plamga,ikkinchi komponentasi B to’plamga 

tegishli bo’lgan juftliklar to’plamiga aytiladi. A´B = 

{(x,y)/, xÎA, yÎB} A va B to’plamlarning Dekart 

ko’paytmasi A´B kabi belgilanadi. Dekart 

---

•   

ko’paytmani topishda qo’llaniladigan amal 

to’plamlarning Dekart ko’paytirish deyiladi. Ta’rif. 

A1, A2, …, An to’plamlarning Dekart ko’paytmasi 

deb uzunligi  

n bo’lgan  shunday kortejlar 

to’plamiga aytiladiki,bunda kortejning birinchi 

komponentasi A1 to’plamga,ikkinchi komponentasi 

A2 to’plamga ,…, n-komponentasi An to’plamga 

tegishli bo’ladi. A1, A2, …, An to’plamlarning 

Dekart ko’paytmasi A1x A2 x … x An kabi 

belgilanadi. A va B to’plamlar chekli bo’lib, uncha 

ko’p bo’lmagan elementlarni o’z ichiga olsa, 

ularning Dekart ko’paytmasini topish qiyin 

emas.Koordinata to’g’ri chizig’i – bu unda sanoq 

boshi, uzunlik birligi va musbat yo’nalish berilgan 

to’g’ri chiziqdir. Ox  to’g’ri chiziq abssissalar 

o’qi,Oy esa ordinatalar o’qi,umumuy sanoq 

boshiga va aynan bir xil uzunlik birligiga ega 

bo’lgan  koordinata o’qlari yasagan  tekislik 

koordinata tekisligi  deyiladi.(4-rasm). 

Koordinatalar tekisligida A 

va B to’plamlarning 

Dekart ko’paytmasini tasvirlaymiz, bunda: A = 

{1,2,3},  B = {3,5};           A = {1,2,3},  B = [3,5]; 

A  [1,3]         B = [3,5]; A = R,           B = [3,5]; A = 

R,           B = R. 1-

holda berilgan to’plamlar chekli 

va uncha katta bo’lmagan sjndagi elementlarni o’z 

ichiga oladi, shuning uchun ularning Dekart 

ko’paytmasining hamma elementlarini sanab 

ko’rsatish mumkin: AxB = {(1, 3), (1, 5) (2, 3), (2, 

---

•   

5), (3, 3), (3, 5)}. Koordinata o’qlarini yasaymiz va 

Ox o’qda A to’plam elementlarini, Oy o’qda B 

to’plam elementlarini belgilaymiz.So’ngra A ´ B 

to’plamdagi har bir sonlar juftligini koordinata 

tekisligidagi nuqtalar bilan tasvirlaymiz. 2-holda 

to’plamlarning Dekart ko’paytmasi elementlarini 

sanab ko’rsatishning imkoni yo’q, chunki B to’plam 

cheksiz to’plamdir. Biroq bu Dekart ko’paytmani 

hosil qilish jarayonini namoyish qilish mumkin. Har 

bir juftlikda birinchi komponenta yoki 1,yoki 2,yoki 

3 ikkinchi komponenta esa [3,5] oraliqdan olingan 

haqiqiy sonlardir.Birinchi komponentasi  1 soni 

bo’lgan , ikkinchi komponentasi esa 3 dan 5 gacha 

qiymatlarini ketma-ket qabul qilgan barcha juftliklar 

PM  kesma nuqtalari bilan tasvirlanadi;birinchi 

komponentasi 2 bo’lgan , ikkinchi komponentasi 

[3,5] oraliqdagi hamma haqiqiy qiymatlarni qabul 

qiluvchi barcha juftliklar KL kesma nuqtalari bilan 

tasvirlanadi;birinchi komponentasi 3 soni 

bo’lgan,ikkinchi komponentasi [3,5] 

oraliqdagi  ixtiyoriy xaqiqiy sonni qabul qiluvchi 

juftliklar esa SQ  kesma nuqtalari bilan 

tasvirlanadi. 4-

holda A to’plam barcha haqiqiy 

sonlardan tashkil topgan, ya’ni A ´ B to’plam 

elementlarini tasvirlovchi nuqtalarning abssissasi 

hamma haqiqiy qiymatlarni ketma-ket qabul qiladi, 

bu vaqtda ordinata sifatida [3,5] oraliqdagi sonlar 

olinadi.Bunday nuqtalar to’plami polosa hosil qiladi  

---

•   

1-misol. A={x|x

N, x2>7} to‘plam 2 dan katta bo‘lgan 

barcha natural ssonlardan tuzilgan, ya’ni A={3, 4, 5, 6, 

7, 8, 9, ...}. Bu to‘plam–cheksiz to‘plamdir.  

 

2-misol. X2+3x+2=0 tenglamaning ildizlari X={-2;-1} 

chekli to‘plamni tashkil etadi. X2+3x+3=0 tenglama esa 

haqiqiy ildizlarga ega emas, ya’ni uning haqiqiy 

yechimlar to‘plami Ø dir. 

Ayni bir xil elementlardan tuzilgan to‘plamlar teng 

to‘plamlar deyiladi.Masalan, muntazam uchburchaklar 

to‘plami barcha burchaklari o‘zaro teng bo‘lgan 

uchburchaklar to‘plami bilan ustma−ust tushadi.  

 

 

 

 

 

 

 

                                        

 

  

---

•   

                                           XULOSA: 

To`plam eng muhim matematik tushunchalardan 

biridir. Bu tushuncha matematika faniga to`plamlar 

nazariyasining asoschisi bo`lgan nemis matematigi 

tomonidan kiritilgan. 

To`plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich 

(ta’riflanmaydigan) tushunchalari- dan biridir. U chekli 

yoki cheksiz ko`p obyektlar (narsalar, buyumlar, 

shaxslar va h.k.) ni birgalikda bir butun deb qarash 

natijasida vujudga keladi. 

To`plamlar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan, 

uning elementlari esa shu alifboning kichik harflari 

bilan belgilanadi. To’plam matematika fanining eng 

yetakchi qismlaridan hisoblanadi.  

 

 

 

 

 

 

 

 

---

•   

                  FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 

1.Hojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi 

   kursi. Darslik, T.: O’qituvchi, 2001. 

2.Isroilov M.I., Soleyev A.S. Sonlar nazariyasi. – T.: Fan, 

   2003. 

3.Iskandarov R.I. Gruppalar nazariyasi. – Samarqand, 

   SamDU, 1970. 

4.Iskandarov R.I., Nazarov A. Algebra va sonlar 

   nazariyasi. 1, 2- qism. T.: O’qituvchi, 1977.