“Matematika” kafedrasi Qo'chqorov Abdurashidbek Farhod o'g'lining


Minor va algebraik to`ldiruvchilar haqida tushuncha



Download 0,75 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/8
Sana13.10.2019
Hajmi0,75 Mb.
#23443
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
yuqori tartibli determinantlar(1)


Minor va algebraik to`ldiruvchilar haqida tushuncha 

 

n- tartibli 



ik

a



 

determinant  berilgan  bo`lib,  uning  ixtiyoriy    i-satrini 

va ixtiyoriy  k-ustunini o`chiramiz. Qolgan ifoda 

)

1



(



n

–tartibli determinant-ni tashkil 

etadi  va  a

ik

  elementning  minori  deyiladi. 



ik

a

element  minori 



ik

  yozuv  bilan 

belgilanadi. 



ik

a

 elementning algebraik to`ldiruvchisi yoki ad`yunkti deb, 



ik

k

i

ik

M

A



)

1



(

kattalikka aytiladi. 

Masalan, uchinchi tartibli 

ik

a



 determinantning 

12

a

 elementi minori 

12

M

 

va algebraik to`ldiruvchisi 



12

A

 mos ravishda: 

12

12

2



1

12

31



23

33

21



33

31

23



21

12

M



M

)

1



(

A

    



,

a

a



a

a

a



a

a

a



M







 

(1.2.2)


 

Determinantlarning xossalari 

Ixtiyoriy n- tartibli determinant o`zining asosiy xossalaridan  tashqari, qo`shimcha 

ravishda quyidagi xossalarga ham ega. 

 

1.2.1-Xossa: Determinantning ixtiyoriy satri yoki ustuni elementlarining o`z 

algebraik to`ldiruvchilariga ko`paytmalarining yig`indisi uning kattaligiga teng: 



 

16 




n



1

k

ik



ik

  

n)



1,2,...,

(i

  



A

a

(1.2.3) 





n



1

i

ik



ik

 

n)



1,2,...,

(k

  



A

a

(1.2.4) 



(1.2.3)  yig`indi  n-tartibli  determinantni  i-  satr  elementlari  bo`yicha  yoyish 

formulasi deyilsa, (1.2.4) yig`indi k– ustun elementlari bo`yicha yoyish  formulasi 

deyiladi. 

Isbot: 

Uchinchi  tartibli 



ik

a



  determinantni  ikkinchi  ustun  elementlari  bo`yicha 

yoying.Uchinchi  tartibli  determinantni  ikkinchi  ustun  elementlari  bo`yicha  yoyish 

formulasini qo`llaymiz, natijada  







33

31



13

11

22



33

31

23



21

12

3



1

i

32



32

22

22



12

12

2



i

2

i



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

 

A



a

A

a



A

a

A



a





)



(

)

(



31

13

33



11

22

31



23

33

21



12

23

21



13

11

32



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



)



a

a

a



a

(

a



21

13

23



11

32

 



 

1.2.2-Xossa:  Determinant  biror  satri  (yoki  ustuni)  elementlarining  boshqa 

parallel  satr  (yoki  ustun)  mos  elementlari  algebraik  to`ldiruvchilariga 

ko`paytmalarining yig`indisi nolga teng: 

 

Isbot: 

Uchinchi tartibli determinantni olamiz 

0

)

(



)

(

)



(

21

13



23

11

31



31

13

33



11

21

31



23

33

21



11

23

21



13

11

31



33

31

13



11

21

33



31

23

21



11

32

31



22

21

12



11

33

32



31

23

22



21

13

12



11















a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

A

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

1.2.2-xossa isbotlandi. 



(1.2.5)

n)

1,2,...,



j

i,

  



j,

(i

    



0

1

1











n

k

kj

ki

n

k

jk

ik

A

a

A

a

 

Ushbu xossa determinantlarning 1.2.1- xossasi asosida isbotlanadi.  



 

1.2.3-Xossa:  n-tartibli  aniq  bir  satrlari  (ustunlari)  bir-biridan  farq  qiluvchi, 

 

17 


qolganlari  esa  aynan  bir  xil  bo`lgan 

1



  va 

2



  determinantlar  berilgan  bo`lsin. 

Berilgan 

1



  va 



2

  determinantlarning  yig`indisi  ko`rsatilgan  farqli  satri  (ustuni) 



mos  elementlarining  yig`indisidan  iborat,  umumiy  satrlari    (ustunlari)  esa 

o`zgarmas qoladigan n-tartibli 

 determinantga teng.  



Isbot: 

Uchinchi  ustunlari  farqli,  qolgan  ustunlari  aynan  bir  xil  uchinchi  tartibli 

determinantlar quyidagicha qo`shiladi: 

)

6



.

2

.



1

(

33



33

31

31



23

23

22



21

13

13



12

11

33



31

31

23



22

21

13



12

11

33



31

31

23



22

21

13



12

11

b



a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





 

Ushbu xossa determinantning 1.1.4-xossasiga asosan isbotlanadi. 



 

1.2.4-Xossa:  Determinant  kattaligi  uning  biror  satri  (ustuni)  elementlariga 

boshqa parallel satr (ustun) mos elementlarini bir xil songa ko`paytirib qo`shganda 

o`zgarmaydi. 

 

Yuqori  tartibli  determinantlarni  hisoblashning  ratsional  usuli  uning  biror 



satri  yoki  ustunida  keltirilgan  xossa  asosida  nollar  yig`ib,  so`ngra  shu  satr  yoki 

ustun bo`yicha yoyib hisoblashdir. Yuqori tartibli determinantni hisoblash masalasi 

ketma-ket ravishda quyi tartibli determinantlarni hisoblash bilan almashinadi. 

 

Masalan: 











6



1

4

9



3

6

4



3

3

1



6

1

4



1

9

3



6

4

0



0

0

1



4

3

3



1

4

1



3

1

1



3

2

4



2

0

1



1

6

3



2

1

 



153

)

17



(

9

3



2

14

15



9

9

6



14

15

3



6

1

4



9

0

6



14

0

15



3











 

 



1.2.5-Xossa:  n-tartibli  berilgan 

ik

a



 

va 


ik

b



 

determinantlar 

ko`paytmasi  n-tartibli 

ik

c



  determinantga  teng  va  uning  ixtiyoriy  c

  elementi 



quyidagi formula bo`yicha hisoblanadi: 

 

18 


)

7

.



2

.

1



(

1





n



j

jk

ij

ik

b

a

c

 

ik



c

  element 

1



  determinant  i-satri  elementlarining 



2

 



determinant  k-  ustuni  mos 

elementlariga ko`paytmalarining yig`indisiga teng. 

Masalan: 

)

8



.

2

.



1

(

 



22

22

12



21

21

22



11

21

22



12

12

11



21

12

11



11

22

21



12

11

22



21

12

11



b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

b

a

a

a

a





 

Laplas teoremasi 

 

1.2.1-Teorema (Laplas teoremasi) 

Determinant  qiymati  uning  biror  satri  (yoki  ustun)  elementlarini  bu 

elementlarning mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirilgan yig’indisiga teng. 

 

Isbot:  (1.2.2)  determinantning  ikkinchi  ustuni  uchun  teoremaning  tasdig’i 

quyidagicha 

32

32



22

22

12



12

A

a

A

a

A

a



  tenglikning to’g’riligidan iborat, ya`ni 







.

)

1



(

)

1



(

)

1



(

32

32



22

22

12



12

32

2



3

32

22



2

2

22



12

2

1



12

23

21



13

11

32



33

31

13



11

22

33



31

23

21



12

23

11



13

21

32



13

31

33



11

22

33



21

23

31



12

32

23



11

13

22



31

33

12



21

23

12



31

13

32



21

33

22



11

A

a

A

a

A

a

M

a

M

a

M

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





















 



 

1.2.1-Misol.  

a) 










1

2



3

2

4



)

1

(



2

1

3



2

1

)



1

(

2



1

1

2



5

)

1



(

4

2



1

1

1



2

5

3



2

3

3



3

2

3



1

 

.



40

32

7



15

)

6



2

(

4



)

3

4



(

)

1



4

(

5









 

b) 











2

1

1



2

5

)



1

(

4



1

1

2



)

3

(



)

1

(



4

2

1



1

2

)



1

(

4



2

1

1



1

2

5



3

2

3



1

2

1



1

1

 



.

40

15



21

4

)



1

4

(



5

)

1



8

)(

3



(

)

2



4

(

2









 



 

 

19 


Chiziqli tenglamalar sistemasini determinant (Kramer) usuli bilan yechish. 

Ikki noma`lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi. 

 

Aytaylik  bizga  ushbu  ikki  noma`lumli  chiziqli  tenglamalar  sistemasi 



berilgan bo’lsin:  

)

9



.

2

.



1

(

2



22

21

1



12

11







b

y

a

x

a

b

y

a

x

a

 

 



Sistemaning 

yechimini 

topish 

uchun 


determinantlar 

nazariyasidan 

foydalanamiz. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish deganda, x va y sonlarning 

shunday  to’plamini  topish  demakki,  uni  (1.2.9)  tenglamadagi  ayniyatga  aylansin. 

Bu sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz. Kamida bitta yechimga ega 

bo’lgan  sistema  birgalikdagi  sistema  yoki  aniq  sistema  deb  ataladi.  Cheksiz  ko’p 

yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deb ataladi. Bitta ham 

yechimga  ega  bo’lmagan  sistema  birgalikda  bo’lmagan  sistema  deb  ataladi. 

Sistema  koeffisiyentlaridan  quyidagi  determinantlarni    tuzamiz  va  uni 

  bilan 



belgilaymiz:  

22

21



12

11

a



a

a

a



 

 

Unga  bosh  determinant  deyiladi.  So’ngra  bu  determinantda  mos  ravishda 



birinchi  va  ikkinchi  ustunlarni  ozod  hadlar  bilan  almashtirib, 

x



y

  bilan 



belgilanadigan ushbu yordamchi determinantlarni tuzamiz. 

2

21



1

12

22



2

12

1



b

a

b

a

a

b

a

b

y

x



 



 

Agar 




0 bo’lsa, (1) – sistemaning yechimini aniqlaydigan  

)

10

.



2

.

1



(







y

x

y

x

 

(1.2.10) formulani hosil qilamiz. Olingan bu qoida Kramer qoidasi deyiladi.  



 

Bu yerda uch hol bo’lishi mumkin:  

a)  Agar 



0  bo’lsa,  (1.2.9)  sistema  birgalikda  bo’lib,  birgina  yechimga  ega 



bo’ladi. 

 

20 


b)  Agar 

=0,  lekin 



x

  va 



y

  larning  kamida  bittasi  nolga  teng  bo’lmasa,  u  holda 



(1.2.9) sistema birgalikda emas, ya`ni bitta ham yechimga ega bo’lmaydi.  

v) Agar 


0



 va 

0

,



0





y



x

 bo’lsa, (1.2.9) – sistema aniqmas, ya`ni cheksiz 

ko’p yechimlarga ega bo’ladi.  

 

1.2.2-Misol.  

 







4

2

5



3

y

x

y

x

 sistema yechilsin.  

Yechish.  

7

4



1

5

3



;

14

2



4

1

5



;

7

2



1

1

3











y



x

 

(1.2.10) – formuladan



.

1

7



7

;

2



7

14









y

x

y

x

 

 



1.2.3-Misol.  





3



2

6

2



3

y

x

y

x

 tenglamalar sistemasi yechilsin.  

Yechish.  

.

3



3

6

2



3

;

1



2

3

1



2

;

0



2

6

1



3









y



x

 

Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q.  



Download 0,75 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish