“Matematika” kafedrasi Qo'chqorov Abdurashidbek Farhod o'g'lining

 

2.2.5-Misol. 

z

z

x

x









1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

Birinchi satrni qolgan satrlardan ayirib quyidagini olamiz 

z

x

z

x

x

x

x













0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

 

Bu esa quyidgiga teng 

2

2

2

2

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

z

x

z

z

x

z

x

z

z

x

x

x

z

z

x

x







































 

2.3 Rekurrent (rekurrent yoki o’shib boorish) usuli. 

 

Bu  usul  dastroq  tartibli  shu  turkumdagi  determinantlar  orqali  satr  yoki 

ustunga  almashtirib  yechish  orqali  determinantni  ifodalashdan  iborat.  Shulardan 

kelib chiqqan tenglik rekurrent munosabat deyiladi. 

 

Keyin  bevosita  determinantning  umumiy  holati  bo’yicha  rekurrent 

munosabatning o’ng tomoniga muvofiq pastroq tartibli determinantlar hisoblanadi. 

Yuqoriroq  tartibli  determinantlar  rekurrent  munosabatda  ketma-ketlik  bilan 

hisoblanadi.  Agar  ixtiyoriy  n-tartibli  determinantni  hisoblash  kerak  bo’lsa,  bir 

nechta  past  tartibli  rekurrent  munosabatni  hisoblab,  berilga  ifodani  umumiy 

ko’rinishini o’zgartirishga harakat qilinadi. 

 

Keyinchalik ixtiyoriy n da bu ifodaning haqqoniyligini rekurrent munosabati 

va unda induksiya usuli orqali isbotlaymiz. 

 

Umumiy  ko’rinishini  boshqa  yo’  bilan  hm  olish  mumkin.  Buning  uchun 

rekurrent munosabatga n-tartibli determinantni xuddi shu rekurrent munosabat 

n

 ni 

 

41 

1



n

  ga  almashtirib,  determinantning 

)

1

(



n

-tartibli  ifodasi  qo’yiladi,  keyin 

determinantning 

)

2

(



n

-tartibli  ifodasi  mos  ravishda  almashtiriladi,  shu  hol  n-

tartibli  determinantning  birinchi  umumiy  ko’rinishi  ifodasi  kelib  chiqgunicha 

takrorlanadi  ikkala  usulni  qo’shish  ham  mumkin,  ya’ni  ikkinchi  usulni  birinchi 

ifodani  aniqlash  uchun  qo’llab,  induksiya  yo’li  bilan  n   ning  haqqoniyligini 

isbotlsh.  Rekurrent  munosabatli  usul  ko’rib  chiqilayotgan  usullardan  eng  kuchli 

usul  hisoblanadi.  Uni  yordamida  murakkabroq  determinantlarni  hisoblashda 

qo’llab ko’ramiz. 

 

Determinantlarni  rekurrent  munosabatli  usul  orqali  aniqlashdan  oldin, 

misollar  yechishning  algoritmiga  keltiruvchi  xususiy  holatini  ko’rib  chiqamiz. 

Rekurrent munosabat quyidagi ko’rinishga ega bo’lsin. 

2

1









n

n

n

qD

pD

D

 

 

2



n

, 

(2.3.1) 

bu yerda 

p

 va 

q

 o’zgarmas (ya’ni 

n

ga bog’liq bo’lgan kattalik). 

0



q

  da 

n

D

  geometrik  progressiya  hadi  sifatida  hisoblanadi: 

1

1

D

p

D

n

n





;  bu 

yerda 

1

D

 mazkur ko’rinishdagi birinchi tartibli determinanti. 

 

Agar 

0



q

  va 





,

  kvadrat  tenglamaning  ildizlari  bo’lsa 

0

2







q

px

x

, 

unda 









p

, 







q

 va (2.3.1) tenglikni quyidagicha ifodalash mumkin: 

)

(

2

1

1













n

n

n

n

D

D

D

D







  

(2.3.2) 

yoki 

)

(

2

1

1













n

n

n

n

D

D

D

D







   

(2.3.3) 

Avval 







 deb tasavvur qilaylik. 

)

1

(



n

-had  uchun  geometrik  progressiya  formulasi  orqali  (2.3.2)  va  (2.3.3) 

tengliklardan quyidagi kelib chiqadi: 

)

(

1

2

2

1

D

D

D

D

n

n

n

















 va 

)

(

1

2

2

1

D

D

D

D

n

n

n

















 

bundan 



























)

(

)

(

1

2

1

1

2

1

D

D

D

D

D

n

n

n

 

yoki 

 

42 

n

n

n

C

C

D





2

1





 

bu yerda 

)

(

1

2

1















D

D

C

, 

)

(

1

2

2

















D

D

C

.  

 

(2.3.4) 

 

n

D

  ning  oxirgi  ko’rinishi  yodda  qolarli.  U 

2



n

  uchun  keltirib,  bevosita 

1



n

  va 

2



n

  bo’lganda  tekshiriladi. 

1

C

  va 

2

C

  larni  (2.3.4)  tenglikda 

keltirilgan ifodalardan emas, balki boshlang’ich shartlardan aniqlash ham mumkin. 





2

1

1

C

C

D





, 

2

2

2

1

2





C

C

D





. 

 

Endi esa 







 bo’lganda (2.3.2) va (2.3.3) tengliklar bir xil bo’lib qoladi 

)

(

2

1

1













n

n

n

n

D

D

D

D







  

 

 

 

bundan 

2

1









n

n

n

A

D

D





,   

 

 

(2.3.5) 

1

2

D

D

A







.   

 

 

 

 

 

 

Bu yerda 

n

 ni 

1



n

 ga almashtiramiz, quyidagi kelib chiqadi: 

3

2

1











n

n

n

A

D

D





,  

 

 

(2.3.6) 

bundan 

3

2

1











n

n

n

A

D

D





.  

 

 

(2.3.7) 

(2.3.5) tenglikka yuqoridagi ifodalarni kiritamiz: 

2

2

2

2









n

n

n

A

D

D





 

 

 

(2.3.8) 

ni hosil qilamiz. Shu usulni bir necha marta qo’llab quyidagilarni hosil qilamiz: 

2

1

1

)

1

(











n

n

n

A

n

D

D





   

 

(2.3.9) 





2

1

)

1

(

C

C

n

D

n

n









 

 

 

(2.3.10) 

bu yerda 

,

2

1



A

C



   



1

2

D

C



   

)

0

,

0

(





q



 

(2.3.11) 

 

43 

 

Endi rekurrent munosabatga keladigan bazi bir misollarni ko’rib chiqamiz. 

 

2.3.1-Misol. 

n

n

x

x

y

x

y

a

a

a

a









0

0

0

.

.

.

.

.

0

0

0

0

2

2

1

1

2

1

0





 

Birinchi ustun bo’yicha yoyib quyidagini olamiz 

n

n

n

x

x

y

x

y

a

a

a

a

y

x

x

y

x

y

x

a

















0

0

0

.

.

.

.

.

0

0

0

0

0

0

0

.

.

.

.

.

0

0

0

0

0

0

0

3

3

2

2

3

2

1

1

3

3

2

2

1

0















 

Bu  yerda  rekurrent  munosabat  o’rnatamiz  va  determinantni  metodika  qoidasiga 

asosan hisoblaymiz 

n

n

n

D

y

x

x

x

a

D

















1

2

1

0

1



1

2

2

2

1

















n

n

n

D

y

x

x

x

a

D



n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

y

y

a

x

x

y

y

a

x

x

y

a

x

x

x

a

D

D

y

x

x

x

a

y

x

x

x

a

D































































































2

1

3

2

1

2

2

1

1

2

1

0

1

1

2

2

2

1

1

2

1

0

1

)

(

 

 

2.3.2-Misol. 

n

a

a

a









0

0

1

.

.

.

.

.

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

2

1

 

Ikkinchi satr bo’yicha yoyib quyidagini olamiz 

 

44 

n

n

a

a

a

a

a

a

a

















0

0

1

.

.

.

.

.

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

.

.

.

.

.

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

3

2

1

3

2







 

Bu yerda rekurrent munosabat o’rnatib determinantni hisoblaymiz 





























































































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

D

a

a

a

D

a

D

a

a

a

D

a

D

a

a

a

D

a

D

a

a

a

D

a

D

1

1

1

1

3

2

1

2

1

3

2

3

1

1

2

1

1

6

5

3

4

2

5

4

2

3

1

4

3

1

2

3

2

1

1























 

 

2.3.3-Misol. 

2

0

0

0

.

.

.

.

.

0

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2









 

Birinchi satr bo’yicha yoyib quyidagini olamiz 

2

0

0

0

.

.

.

.

.

0

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

2

0

0

0

.

.

.

.

.

0

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

2























 

Rekurrent munosabatni o’rnatamiz 

 

45 

0

)

1

(

0

1

2

2

2

2

2

1



















x

x

x

D

D

D

n

n

n

 

1









 

ekanligidan  

1

2

2

1

1

2

,

)

)

1

(

(

1

2

2

2

1

1

2

1



























D

D

A

A

C

D

C

C

n

C

D

n

n









 

2

1



C

 

 

1

2



C

 

 

1





n

D

n

 

 

2.3.4-Misol. 

3

0

0

0

.

.

.

.

.

0

3

1

0

0

2

3

1

0

0

2

3









 

Birinchi qator bo'yicha yoyib chiqib rekurent munosabatni topamiz 

 

46 

1

2

2

)

(

1

1

3

2

3

1

2

3

)

(

2

1

0

2

3

2

3

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1























































n

n

n

n

n

n

n

n

D

D

D

C

D

D

C

C

C

D

x

x

D

D

D























