Matematika-informatika fakulteti

2.3. Chiziqli differensial tenglamalar yechimlarining xossalari.

Koeffisiyentlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita ikkinchi tartibli

(1)

(2)

differensial tenglamalar berilgan bo’lsin, bunda . Ma’lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari

dan iborat bo’lib, uning umumiy yechimi

dan iborat.

Uning nolini topamiz

, ,

, ,

ya’ni (1) tenglamaning yechimi da bittadan ortiq nolga ega emas. (1)

tenglamaning umumiy yechimi

ning nolini topamiz:

,

,

ya’ni (2) tenglama oraliqda cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib, ketma-ket ikkita nol orasidagi masofa ga teng. Uzunligi dan katta bo’lgan xar bir oraliqda (2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining bitta noli yotadi, uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa 2 ta noli yotadi.

Ta’rif. Agar differensial tenglamaning yechimi berilgan oraliqda bittadan

ortiq nolga ega bo’lmasa, bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi.

Agar bu yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa, bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi.

Ma’lumki har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani:

ni

(3)

ko’rinishga keltirish mumkin.

Teorema1. Agar (a,b) oralig’ining barcha nuqtalarida bo’lsa u, holda (3) tenglamaning xamma yechimlari bu oraliqda tebranmas bo’ladi.

Isbot. Aksincha faraz etaylik, (3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi ikkita nolga ega bo’lsin. Bu nollarni bilan belgilaymiz. Masalaning aniqligi uchun va ( ) oraliqda yechim boshqa nolga ega bo’lmasin. U xolda uzluksiz funksiya bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Hamma vaqt bu oraliqda deb olish mumkin (aks xolda  yechimni olar edik). U xolda chunki ning o’ng tomonida o’suvchi funksiya bo’lib, aks xolda bo’lar edi. (3) tenglamadan

ya’ni ikkinchi hosila ( ) oraliqda musbat bo’lgani uchun, bu oraliqda kamayuvchidir ya’ni

U xolda chekli ortirma haqidagi teoremaga asosan

Bu tenglikning chap tomoni nolga teng bo’lib, o’ng tomoni esa noldan farqli buning bo’lishi mumkin emas. Bu qarama –qarshilik ko’rsatidiki yechim

ko’rilayotgan oraliqda tebranmas yechimdir.

Shturm teoremasi

Ma’lumki tenglama 2 ta chiziqli bog’liq bo’lmagan

yechimlarga ega bo’lib, bu yechimlardan birini ketma-ket ikkita nollari orasida ikkinchi yechimning faqat bitta noli yotadi. Bunday xossaga, har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning chiziqli bog’liq bo’lmagan ikkita tebranuvchi yechimlarga ega bo’ladi.

Shturm teoremasi. Ikkinchi tartibli bir jinsli

(3)

differensial tenglamaning ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlarining nollari bir-birini o’zaro ajratadi.

Isbot. Faraz etaylik va (3) tenglamaning ikkita chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlari bo’lsin va yechimning ikkita ketma- ket noli va bo’lib, oraliqda boshqa nolga ega bo’lmasin. Ya’ni

Isbot etamizkim oraliqda faqat bitta nuqta mavjudkim, bu nuqtada bo’ladi. Teskarisincha faraz etaylik oraliqdagi nuqta uchun

bo’lsin. Masalanning aniqligi uchun da bo’lsin.

oraliq oxirida nolga teng bo’lmaydi, ya’ni

aks, holda Vronskian

(4)

va nuqtada nolga teng bo’lar edi. Buning bo’lishi mumkin emas, chunki va lar chiziqli bog’liq emas.

Demak, Vronskiy determinanti bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Shuning uchun deb olish mumkin da.

(4) ning xar ikkala tomonini ga bo’lamiz.



bo’lgani uchun, bu tenglikning o’ng tomoni x ni uzluksiz funksiyasi bo’ladi. Keyingi tenglikni xar ikkala tomonini dan oraliqda integrallaymiz:

Bu keyingi tenglikning chap tomoni nolga teng bo’lib, o’ng tomoni esa musbatdir.

Bu qarama-qarshilik ko’rsatadikim, shunday nuqta ( ) mavjudkim bu nuqtada . Bunday nuqta yagonadir aksincha faraz etaylik ikkita , nolga ega bo’lsin bunda . bilan o’rinlarini almashtirsak, bilan oraliqda ning bitta noli bo’lar edi. Bu esa ikkita ketma-ket , nolga ega degan shartga qarama- qarshidir.

Shturm teoremasiga misol qilib, tenglamani olish mumkin. Bu tenglamaning ikkita , chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlarinining nollari almashinib keladi.

Taqqoslash teoremasi

(1)

(2)

tenglamalari berilgan bo’lsin. Bunda va funksiyalar oraliqda uzluksiz va bu oraliqda

sharti bajarilsin.U xolda birinchi tenglamaning ixtiyoriy yechimining ikkita ketma-ket , nollari orasida, ikkinchi tenglamaning ixtiyoriy yechimining xech bo’lmaganda bitta noli yotadi.

Isbot. Faraz qilaylik va yechimning ikkita ketma-ket noli bo’lsin. Isbot etamizkim, shunday x* nuqta mavjudkim, uning uchun bo’ladi. Teskarisini faraz etamiz oraliqda ning birorta xam noli bo’lmasin, ya’ni . Aniqlik uchun oraliqda , bo’lsin.

U xolda , ning o’ng tomonida o’suvchi va ning chap tomonida kamayuvchi bo’ladi.

Demak,

,



va yechimlarni (1) va (2) tenglamaga olib borib qo’ysak

(3)

Bularning birinchisini ga, ikkinchisini ga ko’paytirib, birinchisidan ikkinchisini hadlab ayirsak

yoki

Bu keyingi tenglikni dan oralig’ida integrallasak

ga ega bo’lamiz.

Natija 1. Agar tenglamada bo’lsa, u xolda uning hamma yechimlari tebranmasdir.

Isbot. (1), (2) tenglamada , deb olamiz. Teskari faraz etamiz (1) tenglamaning ixtiyoriy y(x) yechimi ikkita ketma-ket , nollarga ega bo’lsin. U xolda oraliqda tenglamaning ixtiyoriy yechimi nolga aylanishi zarur. Buning bo’lishi mumkin emas. Masalan yechim

uchun Shturm teoremasini xam taqqoslash teoremasidan foydalanib isbotlash

mumkin.

Natija 2. tenglamaning chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlarining nollari navbatlashib keladi. Boshqacha aytganda yechimning ixtiyoriy ikkita ketma-ket noli orasida yechimning bitta noli yotadi.

Isbot. , tenglamaning chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari bo’lsin. Ular umumiy nolga ega bo’lishi mumkin emas, chunki bo’lganda edi, bularning Vronskiy determinanti nuqtada nolga teng bo’lar edi. Buning bo’lishi mumkin emas chunki va chiziqli bog’liq emas. Faraz etaylik ning qo’shni nollari bo’lsin. Taqqoslash uchun (1), (2) tenglamada

deb olamiz. Taqqoslash teoremasiga asosan yechimning va nollari orasida yechimning noli yotadi. Agar yechim yana bitta nolga ega bo’lsa edi, isbotlaganimizga asosan yechim va nollar orasida nolga ega bo’lar edi. Buning bo’lishi mumkin emas chunki qo’shni nollar.

Xulosa

Bu kurs ishini o’rganishimizdan maqsad “Differensial tenglamalar” fanidagi “Chiziqli differensial tenglama yechimlarining nollari” mavzusini kengroq yoritib berish. Biz bu mavzuni o’rganishimiz uchun avvalo oddiy differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, o’zgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalar, o’zgaruvchi koeefitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchaga ega bo’lishimiz kerak. Kurs ishida chiziqli differensial tenglamalarni yechish bosqichlari keltirilgan. Buning uchun biz o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalarni bilishimiz shart. Bu tushunchalarga ega bo’lganimizdan keyin ushbu mavzuga oid bo’lgan barcha misollarni bemalol ishlay olamiz.

Mazkur kurs ishidan oliy o’quv yurti talabalari differensial tenglamalar fanini mustaqil o’zlashtirishda foydalanishi mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar

1.Salohiddinov M.S. , Nasritdinov G.N. ”Oddiy differensial tenglamalar” Toshkent, ”O’zbekiston”, 1994.

2.Fillipov A.F. ”Сборник задач по дифференциальных уравнениям” Москва, Наука, 1985.

3.Mamatov M.Sh., Nazarov B.N., Inoyatov A.A. Yugay L.P. “Differensial tenglamalardan labaratoriya ishi”, “Birinchi tartibli differensial tenglamalar” Toshkent, ToshDU, 1980.

Foydalanilgan saytlar
1. https://www.library.ziyonet.uz

2. https://www.ziyouz.com

3. https://www.arm.tdpushf.uz

4. https://www.hozir.org