Matematika-informatika fakulteti

Differensial tenglamaning yechimi. Umumiy ko’rinishga ega bo’lgan

(1)

differensial tenglamani qaraylik.

Faraz qilaylik, funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib,

shu oraliqda , hosilalarga ega bo’lsin. Agar (1)

tenglamadagi y ning o’rniga , ning o’rniga , ning o’rniga va

h.k. ning o’rniga qo’yilganda (1) tenglama ayniyatga aylansa:

(x) funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.

Masalan, funksiya ushbu

(2)

birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham,

larni (2) tenglamadagi va lar o’rniga qo’ysak, u holda

,

bo’ladi. Ayni paytda

( ) (3)

funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.

Chunki, , larda (2) tenglama ayniyatga aylanadi:

Differensial tenglamaning (3) ko’rinishdagi yechim umumiy yechim deyiladi. Bu umumiy yechimda ixtiyoriy o’zgarmas C ning biror tayin C₀ qiymatidagi C₀x² yechim (2) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Demak, differensial tenglamaning umumiy yechimdagi ixtiyoriy o’zgarmas C ning turli qiymatlarida differensial tenglamaning xususiy yechimlari ( ular cheksiz ko’p bo’ladi) hosil bo’lib, umumiy yechim bu xususiy yechimlarning barchasini o’zida mujassamlashtiradi. Boshqacha qilib aytganda umumiy yechimdan (ixtiyoriy o’zgarmas C ning hech bir qiymatidan) kelib chiqmaydi. Masalan,

(4)

differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. Chunki, lar berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradi:

Ayni paytda funksiya (4) differensial tenglamaning yechimi bo’lib ( bu ravshan), u umumiy yechimdan (C ning hech bir qiymatida) bu yechim kelib chiqmaydi. Odatda bunday yechim qaralayotgan differensial tenglamaning maxsus yechimi deyiladi. Differensial tenglamaning umumiy yechimidan xususiy yechim argumenti x biror qiymatni qabul qilganda y(x) funksiya berilgan qiymatni qabul qilsin degan shart asosida hosil qilinadi. Bunda boshlang’ich qiymatlar deyiladi, keltirilgan shart boshlang’ich shart deyilib,

, bo’lganda yoki

kabi yoziladi.

Umumiy yechimdagi C o’zgarmas shu shart asosida topiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan,

differensial tenglamaning umumiy yechimi,

ga ko’ra ushbu

y(2)= 8

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi quyidagicha topiladi:

x = 2, y = 8 larni umumiy yechimdagi x va y larning o’rniga qo’yib, 8 = C · 4

bo’lishni, undan esa C = 2 ekanini aniqlaymiz. C ning bu qiymatini umumiy yechimdagi C ning o’rniga qo’yib, izlanayotgan xususiy yechim

bo’lishini topamiz.

Differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish differensial tenglamalar nazariyasining muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Odatda bu masala Koshi masalasi deyiladi.