Matematika-informatika fakulteti

Pikar teoremasi haqida ba’zi ma’lumotlar
Ushbu tenglamaning shartni qanoatlantiruvch yechimini topish (Koshi) masalasi yechimining mavjudligi va yagonalik teoremasi:
Pikar teoremasi. funksiya to’rtburchakda uzluksiz va y bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirsin ya’ni, tengsizlik, shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar, hamda , shartni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun o’rinli. bo’lsin, u holda Koshi masalasi oraliqda yagona yechimga ega bo’ladi.
Koshi masalasi yechimini, Pikar teoremasi sharti bajarilganda, (5)
rekurrent munosabat bilan aniqlanadigan hamda n → ∞ da tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlik bilan topish mumkin. Yechimni (5) formula yordamida ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tiklaymiz.n-yaqinlashishdagi yechimni aniq yechimga almashtirishda xatolik

tengsizlik orqali baholanadi.
Piano teoremasi. funksiya Π to’rtburchakda uzluksiz va bo’lsin, u holda Koshi masalasi oraqlida hech bo’lmaganda bitta yechimga ega bo’ladi.
nuqta Koshi masalasining yechimining yagonalik nuqtasi deyiladi, agar shu nuqtadan berilgan teglamaning yagona integral chizig’i o’tsa. Agar nuqtadan bjttadan ortiq integral chiziq o’tsa u holda bu nuqta, Koshi maslalasi yechimi yagona bo’lmagan nuqtasi deyiladi.Koshi masalasi yechimi yagona bo’lmagan nuqtalar yechimi to’plami maxsus to’plam deyiladi.Agar maxsus to’plamda biror bir integral chiziq yotsa, bu chiziqni maxsus integral chiziq, shu integral chiziqga mos yechimni esa maxsus yechim deb ataymiz.
1-Misol. funksiya sohada y boyicha Lipshits shartini qanoatlantirishini ko’rsating va Lipshits o’zgarmaslarining eng kichigini toping.
Yechish. bo’lsin, − ayirmani baholaymiz:

bo’lgani uchun ga ega bo’lamiz. Bu esa funksiyaning Π sohada y bo’yicha Lipshits shartini barcha larda bajarishini anglatadi. Pikar teoremasiga asosan Lipshits o’zgarmaslarining eng kichigi N=2b bo’ladi.
2-Misol. funksiya [-b, b] kesmada Lipshits shartini qanoatlantirmasligini ko’rsating.
Yechish. Faraz qilaylik berilgan funksiya [-b, b] kesmada Lipshits shartini qanoatlantirsin, ya’ni nuqtalar uchun tengsizlik, larga bog’liq bo’lmagan barcha musbat o’zgarmaslar uchun o’rinli. deb tanlaylik, u holda tengsizlik barcha larda o’rinli bo’lishi kerak, bu esa har doim o’rinli emas. Demak berilgan funksiya Lipshits shartini qanoatlantirmaydi.

3-Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan quyidagi Koshi masalasini yeching:

Yechish.Berilgan masalani yechishda formuladan foydalanamiz, unda quyidagi

rekurrent formula orqali yechamiz:

Demak, Koshimasalasiyechimiquyidagiko’rinishgaegabo’ladi:

XULOSA
Mamlakatimizda yosh avlod ta’lim-tarbiyasiga alohida e’tibor qaratilmoqda. O’g’il-qizlarning zamonaviy bilim olishi, yuksak ma’naviyatli bo’lib ulg’ayishi uchun zarur sharoit yaratish borasida ishlar izchil davom ettirilmoqda.
Kurs ishining birinchi bobi 2 ta paragrafdan iborat bo’lib, birinchi paragrafda hosilaga nisbatan yechiladigan birinchi tartibli differensial tenglamalar, yechim tushunchasi va Koshi masalasi haqida to’liq ma’lumot berilgan. Ikkinchi paragrafda yechimning mavjudligi va yagonaligi haqida teorema, yechimning geometrik ma’nosi haqida ma’lumot berib o’tilgan.
Kurs ishining ikki bobi Pikar tenglamasi haqida bo’lib, bu bob 2 ta paragrafdan iborat. Birinchi paragrafda Pikar tenglamasi haqida ma’lumot berib o’tilgan. Ikkinchi paragrafida teorema isboti keltirilgan.
Malumki, kurs ishi yozishning asl maqsadi o’quvchini fan borasidagi olgan bilimlarini mustahkamlash va u borasida yangilik kiritish uchun yaxshi samara beradi. Yosh avlodni taffakkurini oshirish bilim saviyasini kuchaytirish borasida ularni qiziqishlarini inobatga olgan holda to’g’ri yo’naltira olish ularga o’z kasbini mutahasisi bo’lishi uchun ko’maklashish kerak.
Mazkur kurs ishidan oliy o’quv yurti talabalari differensial tenglamalar fanini o’rganishda foydalanishlari mumkin.