Matematika-informatika fakulteti

3.Differensial tenglamalarni tadbiqlari. Differensial tenglamalarning tadbiq doirasi juda keng. Fan va tehnikaning turli sohalaridagi (geometriya, fizika, mahanika, texnika, tabiatshunoslik va hakozo) masalalar differensial tenglama yordamida hal etiladi.
Ma’lumki, birinchi tartibli differensial tenglama umumiy ko’rinishda quyidagicha:

Ifodalanadi. Bunda, x – erkli o’zgaruvchi ( funksiya argumenti ) noma’lum funksiya esa noma’lum funksiyaning hosilasi. Bu tenglamani ga nisbatan yechilgan holi bo’lgan
(18)
Tenglamani o’rganamiz.Odatda (18) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama ham deb yuritiladi. (18) tenglama uchun tenglamaning yechimi ( umumiy va hususiy yechimlari), boshlang’ich shart, Koshi masalalari tushunchalari ham kiritiladi.
1. Differensial tenglama yechiming mavjudligi va yagonaligi.
Ushbu

differensial denglamani qaraylik. Ravshanki, bu tenglama yechimining mavjudligi va uning yechimi funksiyaga bog’liq. Aytaylik, funksiyaga tekislikdagi yopiq to’g’ri to’rtburchak

da berilgan bo’lsin, bunda a va b lar musbat sonlar.
Teorema.Agar funksiya D da uzluksiz bo’lib, uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsa, u holda (18) differensial tenglama boshlang’ich shart
ni qanoatlantiruvchi yechimga ega va u yagona bo’ladi.
Eslatma. Teoremadan keltirilgan shart (18) tenglama yechimi mavjud bo’lishining yetarli shartini ifodalaydi. Binobarin, bu shart bajarilmaganda ham (18) tenglama yechimiga ega bo’lishi mumkin. Yuqorida aytib o’tganimizdek, (18) tenglama yechimi funksiyaga ( uning ko’rinishiga ) bog’liq bo’ladi. Bu funksiyaning maxsus ko’rinishlarida yuzaga keladigan differensial tenglamalarni keltiramiz:
1). Aytaylik,

bo’lsin, bunda va uzluksiz funksiyalar . Bu holda (18) tenglama ushbu
(19)
ko’rinishga keladi.
Uni o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.
2). Aytaylik,

bo’lsin, bunda va - funksiyalar uzluksiz funksiyalar. Bu holda (18) tenglamani ushbu
(20)
ko’rinishga keladi. Uni chiziqli differensial tenglama deyiladi.
3). Aytaylik,

bo’lsin, bunda va - funksiyalar uzluksiz funksiyalar, m- o’zgarmas son. Bu holda (18) tenglama ushbu
(21)
ko’rinishga keladi. Uni Bernuli tenglamasi deyiladi.
4). Aytaylik,

bo’lsin, Bu holda (18) tenglama ushbu:
(22)
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikning o’ng tomonidagi

Ifoda biror funksiyaning to’liq differensiali ( ) bo’lishi mumkin. Bunday vaziyatda (22) ( ) tenglama to’liq differensial tenglama deyiladi.
5).Aytaylik, funksiya ushbu

shartni qanoatlantirsin, bunda t - ixtiyoriy son bunday holda nol o’lchovli bir jinsli funksiya deyiladi. Bu holda (18) tenglama ushbu :

ko’rinishga keladi. Uni bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Yuqorida keltirilgan (19), (20), (21) va (22) differensial tenglamalar yechimiga ega
( ularning yechimiga ega bo’lishi, funksiyaning ko’rinishi hamda mavjudlik teoremasining shartlarining bajarilishidan kelib chiqadi).