Matematika-informatika fakulteti

1.2. Koshi masalasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqida teorema.

Agar

tenglamada funksiya
1⁰.To’g’ri to’rburchakda uzluksiz, demak unda chegaralangan, ya’ni bo’lsa;
2⁰. y bo’yicha Lipshist shartlarini qanoatlantirsa, u holda tenglama
(6)
shartni qanoatlantiradigan va intervalda aniqlangan yagona yechimga ega. Agar D to’plamning ikki (x ,y₁) va (x,y₂) nuqtasi ushbu
(7)
tengsizlik o’rinli bo’lsa f(x,y) funksiya D da y bo’yicha Lipshist shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshist o’zgarmasi deyiladi.
Pikar teoremasining isbotini keltirishdan avval zarur ikki tasdiqni keltiramiz.
Ekvivalentlik lemmasi.
Agar funksiya x₀ nuqtani o’z ichiga olgan biror I intervalda aniqlangan bo’lib, (5) – (6) Koshi masalasining yechimi bo’lsa, u holda funksiya I intervalda(8) integral tenglamaning yechimi bo’ladi, aksincha agar funksiya I intervalda uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya (9)-(10) Koshi masalasining ham yechimi bo’ladi.

Gronuoll lemmasi
Agar u(x) funksiya intervalda manfiymas, uzluksiz bo’lib, shu intervalda ushbu
(9)
integral tengsizlikka qanoatlantirsa, shu u(x) funksiya uchun quyidagi

tengsizlik o’rinli bo’ladi.

(10)

Peano teoremasi. Agar funksiya T to’rtburchakdda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda Koshi masalasasi oraliqda kamida bitta yechimga ega bo’ladi.
Yechimning davom ettirish.Ko’p hollarda Koshi masalasining yechimi yuqoridagi teoremalarda ko’rsatilgan oraliqdan kengroq oraliqda ham mavjud bo’ladi.
Agar Pikar teoremasining shartlari yopiq sohada bajarilsa, u holda
(11)
masalaning yechimi shu sohaning chegarasigacha davom ettirish mumkin. Quyida shunga oid ba’zi faktlarni keltiramiz.
Agar funksiya polosada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, tengszilikni qanoatlantirsa ( bu yerda va - uzluksiz funksiyalar), u holda (11) masalaning har qanday yechim butun intervalga davom ettirish mumkin.
Koshi masalasining yechimi mavjud bo’ladigan intervalning kattaligi haqidagi ma’lumot quyidagi tasdiqda o’z aksini topgan.
Bixari lemmasi. , , funksiyalar nomanfiy va uzluksiz hamda kamaymaydigan va da bo’lib,
(12)
Tengsizlik o’rinli bo’lsin. U holda barcha lar uchun
(13)
tengsizlik o’rinli bo’ladi, bu yerda
(14)
va funksiya G^-1 funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli.