Matematika-informatika fakulteti "amaliy matematika va informatika" kafedrasi hisoblash usullari fanidan

Teorema 1. (3) oddiy iteratsion jarayon ixtiyoriy boshlang‘ich
da yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun B matritsaning barcha xos
sonlarining modullari birdan kichik bo‘lishi zarur va yetarh.
Isboti. Zarurligi. Faraz qilaylik, mavjud bo‘lsin. U
holda x* = Bx* + c . Bundan (3) ni ayirsak, quyidagilarga ega bo‘lamiz:

Endi vektor k ga bog‘liq bo’lmaganligi uchun

Tenglikdan limitga o’tsak,

kelib chiqadi, bundan 1-lemmaga asosan B matritsaning barcha xos
sonlarining modullari birdan kichikligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. (3) orqali aniqlangan barcha yaqinlashishlarni boshlang‘ich yaqinlashish va c vektorlar orqali ifodalaymiz:

Endi, faraz qilaylik B ning xos sonlarining moduli birdan kichik
boTsin. U holda 1-lemmaga ko‘ra, yuqoridagi teoremaga asosan
tengliklar o’rinli bo’ladi.
Demak, qanday bo’lishidan qat’iy nazar yaqinlashuvchi
ketma-ketlik ekan.
Bu teorema nazariy jihatdan foydali, lekin amaliyot uchun
yaramaydi. Quyidagi teorema B matritsaning elementlari orqali
iteratsion jarayon yaqinlashishining yetarli shartini ko‘rsatadi.
Teorema 2. (3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo‘lishligi uchun
B matritsaning biron normasi birdan kichik bo‘lishi yetarli.
Isboti. Agar bo‘lsa, 3-lemmaga asosan B matritsaning
barcha xos sonlarining moduli birdan oshmaydi. Bundan 1-teoremaga
ko‘ra oddiy iteratsion jarayonning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Natija. (3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun B
matritsa elementlari quyidagi
(4)
(5)
(6)
tengsizliklarning birortasini qanoatlantirishi yetarlidir.
(1) tenglamalar sistemasini (2) ko‘rinishga keltirish masalasiga
to‘xtalib o‘tamiz.
Agar bo‘lib, quyidagi
(7)
(8)
tengsizliklarning birortasi bajarilsa, u holda (2) quyidagi ko‘rinishda
bo‘ladi:

ya’ni


bo‘lib, ixtiyoriy da (3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo'ladi.
Agar (7), (8) tengsizliklarning hech qaysisi bajarilmasa, (1) tenglamalar sistemasi ustida shunday chiziqli almashtirishiar qilish kerakki, yuqoridagi tengsizliklaming birortasi bajarilsin. Xususan, berilgan
tenglamalardan shundaylari ajratib olinadiki, bu tenglamalarda biror
noma'lum oldidagi koeffitsiyent moduli bo‘yicha shu tenglamaning
qolgan barcha koeffitsiyentlari modullarining yig‘indisidan katta
bo‘lsin. Ajratilgan tenglamalar shunday joylashtiriladiki, ularning
moduli bo‘yicha eng kattasi diagonal koeffitsiyentlari bo‘ladi. Qolgan
tenglamalardan va ajratilganlardan yuqoridagi prinsipni saqlagan
holda o‘zaro chiziqli erkli bo‘lgan chiziqli kombinatsiyalar tuziladi va
bo‘sh satrlar to‘ldiriladi. Shu bilan birga boshlang‘ich sistemaning har
bir tenglamasi yangi sistema tenglamalarini tuzayotganda ishtirok
etishi shart.