Matematika-informatika fakulteti "amaliy matematika va informatika" kafedrasi hisoblash usullari fanidan

Kvadrat ildizlar metodi. Faraz qilaylik,
Ax=B (1)
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi A simmetrik matritsa bo’lsin, ya’ni . Soddalik uchun kvadrat ildizlar metodini shu holda bayon etamiz.
A matritsa simmetrik bo’lgani uchun uni
(2)
Ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda
, .
ni T ga ko’paytirib, larni aniqlash uchun quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz.:

Bundan ketma-ket

larni aniqlaymiz.

1. 
   sistema yagona yechimga ega bo’ladi, agar bo’lsa, chunki
   

(2) ni e’tiborga olsak, (1) sistema ikkita va Tx=y tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo’ladi. Bu tenglamalar sistemasini ochib yozamiz:
(4)
va
(5)
(4) dan ketma-ket,
(6)
larni topamiz. Topilganlardan foydalanib (5) dan ketma-ket

larni aniqlaymiz.
Shuni esda tutish lozimki, agar qandaydir s-satr uchun bo’lsa, mos ravishda elementlar mavjud bo’ladi.


Haydash usuli.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi uch diagonalli bo’lgan holni qaraymiz:
(1)
Bu tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasini yozaylik.
(2)
(1) tenglamalar sistemasini quyidagicha kompakt ko’rinishda yozamiz:
(3)
(1) ni Gaus metodi bilan yechamiz va metod to’g’ri yo’lining barcha qadami bajarilgan bo’lsin, u holda (2) quyidagi ko’rinishga kelgan bo’ladi:

Bu yerda va lar haydash koeffisentlari deyiladi va ularni aniqlaydigan formulani chiqaramiz.
Gauss usulining teskari yo’li yordamida noma’lumlarning qiymatlarini toppish mumkin. Ular quyidagi rekurent formula bilan aniqlanadi:
, , k=n-1, n-2,…, 1 (4)
(1) va (4) dan foydalanib, va orqali fodalaymiz:

bundan
(5)
(1) ning birinchi tenglamasidan larning qiymatini aniqlaymiz. Qolgan haydash koeffisentlari (4) va (5) ni taqqoslash natijasida hosil bo’ladigan rekurent formula yordamida aniqlanadi:
, , , , k=2,3,…,n (6)
Demak, (1) ko’rinishga ega tenglamalar sistemasini yechishda (6) formula yordamida haydash koeffisentlari hisoblanadi, so’ng (4) formula orqali ketma-ket lar aniqlanadi. Bu metod ikki qismdan iborat: (6) formula yordamida tashkil etiladigan hisoblash jarayoni haydash usulining to’g’ri yo’li, (4) bilan bajariladigan hisoblash jarayoni esa haydash usulining teskari yo’li deyiladi.

1. 
   ko’rinishdagi tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lishi uchun
   

yetarli shart k=2,3,…, n-1 bo’lib, diagonal elementlari salmoqli bo’lishidan iborat, ya’ni , k=1,2,…,n tengsizliklarning kamida bittasida qat’iy tengsizlik o’rinli bo’lishi kerak.
Oddiy iteratsiya metodi.
Faraz qilaylik,
Ax=b (1)
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi biror usul bilan
x=Bx+c (2)
ko'rinishiga keltirilgan bo’lsin. Ixtiyoriy vektor olib uni
boshlang‘ich yaqinlashish deylik. Agar keyingi yaqinlashishlar
(3)
rekurrent formulalar yordamida aniqlansa, bunday metod oddiy
iteratsiya metodi deyiladi. Agar (3) ketma-ketlikning limiti x* mavjud
bo‘lsa, bu limit (2) sistemaning (shu bilan (1) sistemaning ham)
yechimilbo‘ladi.
Haqiqatan ham (3) da limitga o‘tsak, x*=Bx*+c kelib chiqadi.
Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishini quyidagi teorema
ko‘rsatadi.