Matеmatika” fakultеti “Ámеliy matеmatika”

3§.Jıllılıq ótkizgishlik teńlemesi ushın maksimum principi

Meyli Ω (x, y, z) ken`isliginin` shekli oblasti bolsin. Q dep (x,y,z,t) keńisliktegi ultanı usı Ω oblastı bolatuǵın, jasawshısı bolsa kósherine parallel jaylasqan cilindrdi alayıq. Meyli usı cilindrdiń tómennen t=0 tegisligi menen hám joqaridan t=T (T>0) tegisligi menen shegaralanǵan bólegi bolsın. Tómennen t=0 cilindrdiń ultanı hám qaptal tárepinen cilindrdiń qaptal tárepi menen shegaralanǵan cilindrdiń bólegin Г dep belgileyik.
Endi tómendegi máseleni qarastırayıq , yaǵnıy cilindrde
(1)
jıllılıq ótkizgishlik teńlemesiniń
|t=0 = (2)
baslaǵısh shártin hám
|s =
shegaraliq sha`rtin qanaatlandiratug`in sheshimin tabiw ma`selesin qarastirayiq,bul jerde S-Ω oblastin` shegarasi, P bolsa S betinin` tochkasi hám funkciyaları úzliksiz , sonıń menen birge t=0 ushın diń mánisleri diń mánisleri menen S betinde birdey boladı.

(1)-ten`lemenin` (2) ha`m (3)-sha`rtlerdi qanaatlandiratug`in sheshimin tabiw ma`selesi jilliliq o`tkizgishlik ten`lemesi ushin birinshi shegaraliq ma`sele dep ataladi.
Teorema: Q<sub>T</sub> tsilindrdin` ishinde (1)-birtekli jilliliq o`tkizgishlik ten`lemesin qanaatlandiratug`in ha`m sonin` menen birge onin` shegarasina shekem u`zliksiz bolg`an u(x, y, z, t ) funktsiyasi o`zinin` en` u`lken ha`m en` kishi ma`nisine Г da

erisedi, yag`niy en` u`lken ha`m en` kishi ma`nisine t=0 ushın yamasa Q_T tsilindrdin` qaptal betinde erisedi.
Minimum haqqindag`i teorema funkciyanıń belgisin ózgertiw arqalı maksimum haqqındaǵı teoremaǵa alıp kelinedi. Sonıń ushın teoremanı dálillewdi tek maksimum haqqındaǵı teorema menen juwmaqlaymız.
M arqalı u(x,y,z,t) funkciyanıń cilindrdegi eń úlken mánisin belgileymiz, m arqalı bolsa onıń Г dapı eń úlken mánisin belgileymiz. Meyli sonıńday u(x,y,z,t) sheshim bar bolıp M>m bolsın , yaǵnıy maksimum haqqındaǵı teorema orınlı bolmasın. Meyli bul funkciya tochkada M mánisine erissin, bul jerde hám 0< .
Endi

Funkciyasın qarastıramız, bul jerde d- oblasttıń diametri. nıń qaptal betinde de hám onıń tómendegi ultanında

Biraq . Sonıń ushın funkciyası u funkciyasınday nıń qaptal betinde de hám onıń tómendegi ultanında da eń úlken mániske erispeydi.
Meyli funkciyası tochkada eń úlken mániske erissin, bul jerde tochkası nıń ishki tochkası hám 0< . Onda bul tochkada ekinshi tuwındıları , yaǵnıy lar oń emes hám (eger bolsa , eger bolsa ). Bunnan tochkada

Bolatuǵınlıǵı kelip shıǵadı. Ekinshi tárepten

Bolıp , bul bolsa (4)-ge qarsı keledi, demek teorema orńnlı.
Teoremanıń fizikalıq mánisi tómendegishe: Jıllılıq temperatura joqarı jerden temperatura tómen jerge qarap tarqaladı, sonıń ushın eger t=0 waqıtta denedegi maksimal temperatura , shegaradaǵı temperatura bolıp, 0< ushın bolsa, onda 0< ushın hesh bir tochkada temperatura dan úlken bolıwı múmkin emes.
Bul dálillengen teoremadan tómendegi nátiyjeler kelip shıǵadi.
Teorema. (1),(3)-birinshi shegaralıq máseleniń sheshimi cilindrde birden bir.
Teorema. (1),(3) –birinshi shegaralıq máseleniń sheshimi baslanǵısh hám shegaralıq shártlerdiń oń tárepinen úzliksiz ǵárezli.