Matеmatika” fakultеti “Ámеliy matеmatika”

4§.Jıllılıq ótkizgishlik teńlemesi ushın birinshi túr shegaralıq máselelerdi sheshiwdiń ózgeriwshilerdi ayırıw usılı

tuwrımúyeshlik berilgen bolsın. Bul tuwrımúyeshlikte birinshi shegaralıq másele tómendegishe qoyıladı: tuwrımúyeshliginde úzliksiz bolǵan, da bolsa, yaǵnıy tuwrımúyeshliktiń ishki oblastında

jıllılıq teńlemesin, |t=0 = , ( ) baslanǵısh shártin hám
|x=0 = , |t=0 = ( shegaralıq shártin qaanatlandıratuǵın u(x,t) sheshimin tabıń, bul jerde , funkciyaları úzliksiz ham , = .
Bul uliwma birinshi shegaraliq ma`seleni u`yreniwden aldin, a`piwayiraq bolg`an bir tekli jilliliq o`tkizgishlik ten`lemesi ushin birinshi shegaraliq ma`seleni sheshiwden baslaymiz.
Meyli uzinlig`i l ge ten` bolg`an, qaptal betinen izolyatsiyalang`an jin`ishke sterjennin` ushlarindag`i temperatura nolge, al da`slepki temperaturasi bolsa qa ten` bolsin. Onda sterjendegi jilliliqtin` taraliw nizami.
(1)
|t=0 = (2)
|x=0 =0 |x=l =0 (3)
túrindegi aralas máseleniń sheshimi menen anıqlanadı, bul jerde funkciya birinshi tártipli úzliksiz tuwındıǵa iye hám x=0, x=l ushın nolge aylanatuǵın funkciya.
Sheshimi Fure metodı boyınsha
(4)
kóbeymesi túrinde izleymiz. Bunı (1)- ge qoysaq

yamasa

boldı.Bunnan Tómendegi eki
(5)
(6)
teńlemege iye bolamız (4)- ni (3)- shegaralıq shártke qoysaq , túrindegi X(x) ǵa qarata shegaralıq shártke iye bolamız.Solay etip funkciyası ushın
(7)
Túrindegi Shturma-Liuvill máselesine iye bolamız. Bul Shturma-Liuvill máselesiniń menshikli mánisleri
(8)
Al menshikli funkciyaları bolsa

boladı. Sonday-aq nıń bul mánislerine (5)-niń
(10)
Sheshimleri tuwra keledi.solay etip bul
(11)
Sheshimler (1)-teńlemeni hám (3)-shegaralıq shártlerdi qanaatlandıradı.
(12)
qatarın dúzemiz. Bunı (2)-baslanǵısh shártke qoysaq
(13)
bolıp, bunnan
(14)
boladı. nıń mánislerin (12)-degi ornına qoysaq, berilgen (1),(2),(3)-aralas máseleniń sheshmine iye bolamız.
Meyli endi bir tekli emes
(15)
jıllılıq ótkizgishlik teńlemesiniń birtekli
|t=0 = (16)
|x=0 =0 |x=l =0 (17)
baslanǵısh hám shegaralıq shártlerin qanaatlandırıwshı sheshimin tabıw máselesin qarastırayıq. Sheshimde
(18)
Fure qatarı túrinde izleymiz. Bunı (15)-ge qoymastan aldın funkciyasın menshikli funkciyalar boyınsha qatarǵa jayıp alamız:
(19)
bul jerde
(20)
(18) hám (19)-lardı (15)-ge qoysaq

Bunnan
k=1,2, … (21)
u(x,t) ushın baslanǵısh shártti paydalansaq

Bunnan
(22)
Onda (21)-teńlemeniń (22)-baslanpısh shártin qanaatlandırıwshı sheshimi

Kórinisine iye boladı. Bunı (18)-ge qoyıp (15),(16),(17)- aralas máseleniń

Túrindegi sheshimine iye bolamız.
Endi joqarıdaǵı ulıwma birinshi shegaralıq máselege qaytamız. Sheshimdi u(x,t) = v(x,t) – w(x,t) qosındı túrinde izleymiz, bul jerde

al, funkciyası bolsa




Túrindegi aralas máseleniń sheshimi boladı. Bul másele (15),(16),(17)- máselege uqsas sheshiledi.