Matematik induksiya metod

Mavzu: Matematik induksiya metodi

Reja:
I. Kirish:

Matematik induksiya metodi.

II. Asosiy qism:

1. Umumlashgan matematik induksiya metodi.

2. Natural sonlar arifmetikasi va matematik induksiya metodi.

3. Ayniyatlarni isbotlash va yig`indi hamda ko`paytmalarni hisoblashda matematik induksiya.

4. Tengsizliklarni isbotlashda matematik induksiya metodi.

5.Trigonometriyada matematik induksiya metodi.

6. Geometriyada matematik induksiya metodi.

III. Xulosa.

I.Kirish.

1. Matematik induksiya metodi.

Matematik induksiya metodi matematikaning turli-tuman, hatto bir-biridan juda olis sohalarida muvafaqqiyat bilan keng qollaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o`zining juda sodda bo`lgan g`oyasi bilan e`tiborga sazovar. Bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma`lum “topog`onlik” ni talab etishi bilan ham xarakterlidir.Matematik induksiya elementar matematikaning barcha sohalaridagina emas, balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo`limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir. Induksiya yordamida biror A(n) gipoteza bayon etilgan bo`lib, bu mulohazaning ixtiyoriy n natural son uchun rostligini isbotlash kerak bo`lsin hamda A(n) mulohazaning to`g`riligini barcha n lar uchun bevosita tekshirib ko`rishning iloji bo`lmasin.A(n) mulohaza, matematik induksiya prinsipiga asosan, quyidagicha isbotlanadi:

Bu tasdiqning to`g`riligi, avvalo n=1 uchun tekshiriladi. So`ngra aytilgan tasdiqni n=k uchun rost bo’lsin deb faraz qilib,uning rostligi n=k+1 uchun isbotlanadi. Shundan so’ng,A(n) tasdiq barcha n(n N) lar uchun isbotlangan hisoblanadi. Bularga asosan, agar A(n) tasdiq n=1 da rost bo`lsa, u navbatdagi n=1+1=2 son uchun ham rost bo`ladi. Tasdiqning n=2 uchun rostligidan uning n=2+1=3 uchun rostligi kelib chiqadi. Bundan esa tasdiqning, o`z navbatida, n=4 uchun rostligi kelib chiqadi va hokazo. Shu yo`sinda, ixtiyoriy n natural songacha yetib boramiz. Demak, A(n) tasdiq ixtiyoriy n uchun o`rinlidir.Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinsipni ifodalaylik.

I. n=1da A(n) mulohazaning rostligi tekshiriladi;

II. n=k da A(n) mulohaza rost bo`lsin deb faraz qilib, n=k+1 uchun A(n) mulohazaning rostligi, ya`ni A(k) A(k+1) isbotlanadi. Shundan so`ng, A(n) mulohaza barcha n lar uchun rost deb xulosa qilinadi.

1-misol. Yuqoridagi prinsipga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun ushbu tenglikni isbotlang:

1+2+3 +…+ n= (1)

Isboti .

Bu yerda va bundan keyin misoldagi tasdiqni A(n) deb belgilaymiz.

I. n=1 bo`lganda 1=1,demak, A(1) to`g`ri.

II.Ixtiyoriy k natural son uchun A(k) ning to`g`riligidan A(k+1) ning kelib chiqishini isbotlaymiz.

1+2+3 +…+ k= (2)

to`g`ri bo`lsin. (2) munosabatdan foydalansak:

1+2+3+….+ k+(k+1)=

hosil bo`ladi, bu esa A(k+1) ning o`zidir.

Matematik induksiya prinsipiga asoslanib (1) dan iborat tasdiq har qanday n natural son uchun to`g`ri deb xulosa qilamiz.

Matematik induksiya prinsipiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi.Matematik induksiya metodiga asoslanib biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko`rsatilgan I va II punktlarni har birini tekshirish (isbotlash) juda muhimdir. Agar ulardan birortasini hisobga olmasak, chiqarilgan xulosa to`g`ri bo`lmay qolishi mumkin. I punktni isbotlamasdan, faqat II punktga asoslanib xulosa chiqarsak, chiqarilgan xulosa xato bo`lishi mumkin.

2-misol. Har qanday natural son o`zidan keyin keluvchi natural songa teng.

Isboti.

k=k+1 (3)

bo`lsin deb faraz qilaylik. U holda k+1=k+ 2 (4)

hosil bo`ladi. Haqiqatan ham, (3) ning ikkala tamoniga 1 ni qo`shsak, (4) kelib chiqadi. Bundan, agar tasdiq n=k uchun rost bo`lsa, u holda n=k+1 uchun ham rost ekani kelib chiqadi.

Natija. Barcha natural sonlar o’zaro teng. Natijaning xatoligi o’z-o’zidan ravshan. Bu xato qayerdan kelib chiqdi?

Xato shundan iboratki , matematik induksiya prinspini qo’llash uchun zarur bo’lgan I punkt isbotlanmadi , faqat II punkt isbotlandi, xolos.

I punkt induksiya bazasi (asosi) deyiladi. II punktda esa induksiya bazasi istalgan n natural son uchun kengaytiriladi. Agar I punkt tekshirilmay, faqat II ning o’zi isbotlansa, u holda induksiya bajarish uchun asos yaratilmaydi, shu sababli isbotlangan narsaning ma’nosi bo’lmaydi, chunki kengaytirilishi kerak bo’lgan bazaning o’zi yo’q.