Matematik induksiya metod

6 Geometriyada matematik induksiya.

1-misol. Aylanaga ichki chizilgan 2ⁿ tomonli muntazam ko’pburchakning tomoni

a_2n=R (1)

formula bilan ifodalanishini isbotlang, bunda R-aylana radiusi.

Isboti. I.n=2 da kvadrat hosil bo’lib, uning tomoni

a₄=R .

Ushbu

a_2n+1= (2)

ikkilantirish formulasiga asosan muntazam sakkizburchak, o’noltiburchak va o’ttiz ikki burchakning tomonlari, mos ravishda, quyidagicha bo’ladi:

a₂₃=a ₈ =R ,

a₂₄=a₁₆=R

a₂₅=a₃₂=R .

Demak, n=2,3,4,5 lar uchun (1) o’rinli.

II. k 2 da 2^k burchakli muntazam ichki chizilgan ko’pburchakning tomoni uchun

a_2k=R (3)

formula to’g’ri deb faraz qilib,(1) formula k+1 uchun ham to’g’ri bo’lishini ko’rsataylik. (2) ikkilantirish formulasiga asosan: a_2k+1=

Oxirgi tenglikdan esa (1) formulaning ixtiyoriy n natural son uchun o’rinliligi kelib chiqadi.

2-misol. P perimetrli muntazam 2ⁿ burchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning r_n va R_n radiuslarini hisoblash qoidasini ko’rsating.

Yechilishi. I.n=2 uchun r₂ = , R₂= bo’lishini ko’rish qiyin emas.

II. Perimetri P bo’lgan muntazam 2^k burchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari r_k va R_k bo’lsin. Shu perimetrga ega bo’lgan muntazam 2^k+1 burchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning r_k+1,R_k+1 radiuslarini hisoblaylik.

AB – P perimetrli muntazam 2^k burchakning tomoni bo’lsin, O-uning markazi, C nuqta –AB yoyning o’rtasi, D nuqta – AB vatarning o’rtasi, EF – ABC uchburchakning o’rta chizig’i va G – uning o’rtasi bo’lsin. (1-chizma).

bo’lganligidan EF kesma OE radiusli aylanaga ichki chizilgan muntazam 2^k+1 burchakning tomoniga teng, bunda qaralayotgan muntazam 2^k+1 burchakning perimetri

2^k+1EF =2^{k+1 . =} 2^{k .} AB

dan iborat, ya’ni u ham P ga teng. Shunday qilib, r_k+1 =OG, R_k+1 =OE.

OC-OG=OG-OD,

ya’ni

R_k-r_k+1=r_k+1-r_k,

bundan esa

r_k+1= (R_k+r_k).

OEC to’g’ri burchakli uchburchakdan OE²=OC^.OG, ya’ni R =R_k* r_k+1. Shunday qilib, izlanayotgan radiuslar quyidagi formulalardan topiladi:

r_k+1= (R_k+r_k),R_k+1=