Matematik induksiya metod

3 Ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblashda matematik induksiya.

1-misol. Birinchi n ta toq natural sonlarning yig’indisini toping.

Yechilishi. Izlanayotgan yig’indi S_n bo’lsin:

S_n=1+3+5+…+(2n-1)

n ga ketma-ket 1,2,3,4,5,6,7,… qiymatlar berib, S_n ning mos qiymatlarini topaylik:

S₁=1; S₂=4; S₃=9; S₄=16; S₅=25; S₆=36; S₇=49; …

Hosil bo’lgan sonlarni kuzatib biror qonuniyat topishga harakat qilaylik. Ularni quyidagicha yozish mumkinligini ko’rish mumkin:

S₁=1²; S₂=2²; S₃=3²; S₄=4²; S₅=5²; S₆=6²; S₇=7²;…

Hosil bo’lgan sonlarga qarab ushbu gipotezani aytish mumkin:

Birinchi n ta toq natural sonlar uchun

S_n=n²

Bu gipotezani isbotlaylik:

I.n=1 da S₁=1=1² gipoteza to’g’ri.

II.n=k uchun S_k=k² o’rinli bo’lsin deb n+k+1 da S_k+1=(k+1)² bo’lishini ko’rsatamiz. Induktiv farazga asosan

S_k+1=1+3+…+(2k-1)+(2k+1)=S_k+(2k+1)=(k+1)².

Demak, gipoteza istalgan n N uchun o’rinli.

2-misol. (Qiziqarli masala.) Bir boy dexqonning otini sotib olmoqchi bo’ldi, lekin otning 1 000 so’mlik baxosi unga ko’p ko’rindi. Shunda dexqon boyga otning taqalaridagi mixlarni arzon baxoda sotib olishni, otni esa sovg’a sifatida olib ketishni taklif qildi va mixlarning birinchisiga bir tiyin, ikkinchisiga 2, uchunchisiga 4, to’rtinchisiga 8 va hokazo, har bir keyingi mixga ikki baravar ko’p to’lashni so’radi. Boy bu shartga rozi bo’ldi. Har bir taqada 6 ta mix bor. Boy otni necha so’mga olgan?

Yechilishi. Boy sotib olishi kerak bo’lgan mixlar 24 ta. Mixlarga ketma-ket to’langan pullarni yozaylik:

1,2,4,8,16,32,64,…….

Bu sonlarni quyidagicha ham yozish mumkin:

2⁰,2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,2⁶,……..

Bu qatorni ko’zdan kechirsak, k mixga 2^k-1 tiyin (1 k 24) to’laganini sezamiz. Barcha mixga to’langan pul:

S₂₄=2⁰+2¹+2²+…….2²³

Ushbu yig’indini hisoblaylik:

S_n=2⁰+2¹+2²+…….2ⁿ

n ga 1,2,3,4,5 qiymatlarni bersak,

S₁=1; S₂=3; S₃=7; S₄=15; S₅=31.

Hosil bo’lgan sonlarni 2 ning darajalari bo’yicha yozaylik:

S₁=2¹-1; S₂=2²-1; S₃=2³-1; S₄=2⁴-1; S₅=2⁵-1.

Bulardan ushbu gipotezani aytish mumkin:

n N uchun S_n=2ⁿ-1.

I.n=1 da S₁=2¹-1, gipoteza to’g’ri.

II. n=k uchun S_k=2^k-1 o’rinli bo’lsin deb, n=k+1 da S_k+1=2^k+1-1 bo’lishini isbotlaylik.

Haqiqatan ham,

S_k+1=1+2¹+2²+…+2^k-1+2^k=S_k+2^k=2^k+1-1

tenglik hosil bo’ladi. Demak, (1) n N uchun o’rinli. Buni ot savdosiga qo’llasak, S₂₄=2²⁴-1 tiyin yoki 167 772 so’m 15 tiyin, ya’ni ot bahosidan 150 martadan ham ko’p pul to’langan.

3-misol. Tennis sharlari piramida shaklida taxlangan. Ustki qavatda 1 ta, pastki, ikkinchi qavatda 4 ta, undan pastda 9 ta va hokazo, eng pastdagi n-qavatda n² shar bor. Piramidani buzmay nechta shar borligini toping.

Yechilishi.

S_n=1²+2²+3²+…+n². (2)

S_n=1²+2²+3²+…+n²= n(n+1)(2n+1). (3)

I.n=1 da S₁= ^.1^.(1+1)(2^.1+1)=1² gipoteza o’rinli.

II. n=k da gipoteza o’rinli bo’lsin ya’ni

S_k=1²+2²+…k²= ^.k(k+1)(2k+1)

n=k+1 bo’lganda

S_k+1=1²+2²+…k²+(k+1)²= (k+1)(k+2)[2(k+1)+1]

bo’lishini isbotlaymiz.

(2) da n=k+1 bo’lsin deb, induktiv farazni etiborga olsak: S_k+1=1²+2²+…k²+(k+1)²=S_k+(k+1)²= k(k+1)(2k+1)+(k+1)²= (k+1)(k+2)[2(k+1)+1].

Demak, (3) n N uchun to’g’ri.

4-misol. Ayniyatni isbotlang:

S_n=1²+3²+5²+…+(2n-1)²= n(2n-1)(2n+1) (4)

Yechilishi.I.n=1 da gipoteza o’rinli.

II.n=k da gipoteza o’rinli bo’lsin, ya’ni

S_k=1²+3²+…(2k-1) ²= k(2k-1)(2k+1)

(4) formula n=k+1 uchun ham to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.

S_k+1=1²+3²+…+(2k-1)²+(2k+1)²

yig’indida induktiv farazni e’tiborga olsak,

S_k+1=[S_k+(2k+1)²= k(2k-1)(2k+1)+(2k+1)²= (k+1)(2K+1)(2k+3)

formula hosil bo’ladi. Bu esa n=k+1 uchun (4) ning o’zidir.

5-misol.

+n

ayniyatni isbotlang.

Isboti.I.n=1 da ayniyat o’rinli:

II.n=k uchun ayniyat o’rinli bo’lsin, n=k+1 uchun to’g’riligini ko’rsatamiz.

Induktiv farazni etiborga olib hisoblashlar bajaraylik:

Demak, berilgan ayniyat n N uchun to’g’ri.