Matematik fizikaning ko’pgina masalalari noma`lum funksiya nisbatan

§6.3. Iterasiyalangan yadro. Rezolventa.

(2) ko’rinishdagi

(2)

Fredgol’m ikkinchi turdagi integral tenglama berilgan bo’lsin. (7) tengsizlik bajarilganda (8) funksiyalar ketma-ketligi (2) tenglamaning yechimiga yaqinlashishi isbotlangan edi. Endi shu ketma-ketning har bir hadini batafsilroq o’rganamiz. Ma’lumki,

,

so’ngra

Ikkilangan integralda interallash tartibini o’zgartirib,

kabi belgilab olib,

tenglikni hosil qilamiz.

Bu jarayonni davom ettirib,

(17)

tenglikka ega bo’lamiz, bunda lar

,

(18)

rekurent munosabat bilan aniqlandi. funksiyalar iterasiyalangan (takroriy) yadrolar deb ataladi.

Integrasiyalangan yadrolarni (18) ga nisbatan umumiyroq

(19)

formula bilan ifodalash mumkin. Haqiqatan ham, (17) da yadroni yana shu (18) formula yordamida bilan ifodalab,

tenglikni hosil qilamiz. yadroni orqali ifodalash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, oxirida

formulaga kelamiz. o’zgaruvchi bo’yicha integralni ajratib, oxirgi formulani

ko’rinishda yozib olamiz. (20) formulaga asosan figurali qavs ichidagi birinchi integral ga, ikkinchi integral esa ga teng.

Shunday qilib,

bunda ni ga almashtirib (19) formulaga kelamiz.

(8) ketma-ketlikning yaqinlashishini isbotlangandagi mulohazalarni qaytarib, kvadratda

qatorning tekis yaqinlashishiga ishonch hosil qilish mumkin.

Bu qatorning yig’indisi ni yadroning yoki (2) integral tenglamaning rezolventasi yoki hal qiluvchi yadrosi deyiladi.

(17) da deb limitda o’tib, (2) tenglamaning yechimini rezolventa yordamida

ko’rinishida yozib olishimiz mumkin.

rezolventa yopiq sohada uzluksiz bo’ladi. Shu sababli, avvalgi formuladan bilan bir qatorda (1) tenglamaning yechimining uzluksizligi kelib chiqadi.

Shunga o’xshash, Volterra (13) integral tenglamasining yechimini rezolventa orqali yozish qiyin emas. Shu maqsadda matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Dirixle formulasini eslatib o’tamiz.

Faraz qilaylik, funksiya to’g’ri chiziqlardan tashkil topganteng yonli uchburchakda uzluksiz bo’lsin . U holda bo’yicha olingan

integralni ikki usul bilan hisoblash mumkin. Avval x o’zgaruvchi bo’yicha a dan y gacha, keyin y bo’yicha a dan b gacha integrallash mumkin, ya’ni

So’ngra y bo’yicha x dan b gacha, x o’zgaruvchi bo’yicha a dan b gacha integrallash mumkin, ya’ni

Oxirgi ikki tengliklardan

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik Dirixle formulasi deyiladi.

(13) tenglama uchun birinchi yaqinlashishni

formula bilan aniqlagan edik.

Ikkinchi yaqinlashish

tenglik bilan aniqlanadi. Oxirgi ikkilangan integralga Dirixle formulasini qo’llaymiz:

Agar

deb belgilasak,

bo’ladi.

Bu jarayonni davom ettirib, xuddi Fredgolm tenglamasidek,

(20)

tenglikka ega bo’lamiz, bunda

6.2 paragrafdagi mulohazalardan parametrning ixtiyoriy chekli qiymatida

qatorning absolut va tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Bu qatorning yig’indisini orqali belgilab olamiz. Bu holda ham ga (13) Volterra tenglamasining rezolventasi deyiladi.

(20) tenglikda deb limitda o’tib, (13) tenglamaning yechimini rezolventa orqali yozib olamiz:

.

Misol. Ushbu

tenglama rezol’venta yoradami bilan yechilsin.

Quyidagilarni hisoblaymiz:

Xuddi shu kabi ni topamiz:

va hokazo. Bularni formulaga qo‘yib, rezol’ventani hosil qilamiz:

U holda berilgan tenglamaning yechimi

bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralni hisoblab quyidagi natijani olamiz: