Матемагия

Упражнение: «3-на-2» с использованием факторинга, сложения и вычитания

Решите представленные ниже задачи типа «3-на-2» с использованием методов факторинга, сложения или вычитания. Факторинг, когда он возможен, обычно легче. Решения показаны в конце книги.%
%

%
%
Следующие примеры типа «3-на-2» появятся в разделах по возведению пятизначных чисел в квадрат и умножению типа «5-на-5».9

Возведение пятизначных чисел в квадрат

Освоение умножение задач типа «3-на-2» требует куда больше практики, но как только вы управитесь с ним, то сможете плавно перейти прямо к задачам по возведению пятизначных чисел в квадрат, потому что они упрощаются до умножения типа «3-на-2» плюс возведение двух и трёхзначных чисел в квадрат. Смотрите:9
Чтобы возвести в квадрат следующее число:9
9
9
9
Подойдите к этому следующим образом:9

Используя распределительный закон, мы можем разбить пример
так:9

9
За это можно взяться более простым способом:9

Но я не решаю их в таком порядке. На самом деле, я начинаю с середины, потому что задача типа «3-на-2» тяжелее, чем возведение в квадрат двух- и трёхзначных чисел. Так что в соответствии с принципом «убирай сложное со своего пути в первую очередь», я вычисляю 792 х 46 х 2 и прикрепляю три нуля на концовку, а именно:9

9
9
9
9
9
Используя метод вычитания, как показано выше, посчитайте 792 х 46 = 36432, затем удвойте это число для получения 72 864. Применение фонетического по отношению к числу 864 позволит вам хранить в памяти это число как «72 буквенно-числовой код». 9
Следующий шаг: посчитать 46² х 1 миллион, что будет 2 116 000
000. 9
На данной стадии вы можете произнести: «Два миллиарда…»9
Активизировав в памяти «72 буквенно-числовой код», вы прибавляете 116 миллионов, чтобы получить 118 миллионов. Прежде чем сказать это вслух, вам нужно заранее проверить и посмотреть, нужно ли что-то держать в уме, когда вы прибавляете буквенночисловой код, то есть 864, к 792². Здесь вы на самом деле не вычисляете 792²; скорее вы определяете тот факт, что результат вычислений будет достаточно большой, для того, чтобы перекрыть 864 000. (вы можете приблизительно оценить это, если заметите, что 800² это 640 000, что с лёгкостью перекроет 864 000. Таким образом, вы поднимите на ступеньку выше 188 и скажите: «. . . 189 миллионов. . . .»)9
Всё ещё держа в памяти буквенно-числовой код, посчитайте квадрат 792, используя метод для возведения трёхзначных числел в квадрат (округление в большую и меньшую стороны на 8, и так далее), чтобы получить 627 264. Наконец, прибавьте 627 к буквенно-числовому коду, то есть 864, дабы получить 1491. Но так как вы уже сделали перенос, отбросьте 1 и произнесите: «…491 тысяча 264»9
Иногда я забываю последние три цифры ответа, потому что мой мозг был так сильно поглощён большими вычислениями. Так что перед тем, как провернуть итоговое сложение, я сохраняю цифру 2 (от 264) на своих пальцах и стараюсь запомнить 64, что я обычно в состоянии сделать, потому что мы имеем склонность к запоминанию того, что не так давно слышали. Если затея проваливается, то я могу прийти к последним двум цифрам путём возведения в квадрат последних двух цифр исходного числа, 92², или 8464, последние две цифры которого и есть те самые последние две цифры: 64. (В качестве альтернативы, вы можете конвертировать 264 в фонетический код)9
Я знаю, что это довольно-таки труднопроизносимо. Для повторного выполнения всей задачи целиком достаточно лишь одной иллюстрации. Вот как я посчитал 46 792²:9

Давайте взглянем на другой пример с возведением пятизначного
числа в квадрат:9
9
9
9
9
Как и прежде, мы вычисляем ответ в таком порядке:9

В первой задаче обратите внимание, что 522 является кратным 9.
Фактически, 522 = 58 х 9. Рассматривая 83 как 80 + 3, мы получим:6

Удвоение 43 326 даёт нам в результате 86 852, что может быть сохранено как «86 буквенно-числовой код». Так как 83² = 6889, мы можем произнести: «Шесть миллиардов…»9
Сложение 889 + 86 даёт нам 975. Прежде чем произнести «975 миллионов», мы проверяем, не приведёт ли наш буквенно-числовой код (он же 652 000) к переносу чисел, после возведения в квадрат 522. Приблизительно оценив 522² как 270 000 (500 х 540), вы увидите, что перекрытия не будет. значит, вы можете спокойно сказать: «…975 миллионов…»9
Наконец, возведение в квадрат 522 обычным способом приведёт нас к 272 484, а прибавление данного числа к буквенно-числовому коду
(652 000) - к остальной части ответа: «…924 484»9
В виде рисунка данная задача выглядит следующим образом:9

9