|
2.Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Lagranj (oʻzgarmasni
variyatsiyalash) usuli.
Avvalo biz Lagranj, ya’ni oʻzgarmasni variyatsiyalash usuli bilan tanishamiz.
Shu maqsadda (1) differensial tenglamaning yechimini ushbu
( )
р ( )
( )
t d t
y x
C
х e
−
=
(5)
koʻrinishda izlaymiz. Bu yerda
−
)
(
x
C
hozircha noma’lum funksiya. (5) tenglikning
ikki tomonini differensiallab
р ( )
р ( )
( )
( )
р ( )
t d t
t d t
y
C
x e
C х e
x
−
−
=
−
(6)
tenglikni hosil qilamiz. Bu
y
va
y
funksiyalarning (5) va (6) ifodalarini mos
ravishda (1) differensial tenglamaga qoʻyib
( )
( ) ( )
( )
( )
р ( )
p ( )
( )
( ) p
p x d x
x d x
x d x
C
x e
С x
x e
p x C x e
q x
−
−
−
−
+
=
munosabatni topamiz. Bundan
( )
р ( )
( )
x d x
C
x
q
x e
=
.
Oxirgi tenglikni integrallasak
( )
p (
)
( )
x d x
C x
q x e
d x
C
=
+
(7)
munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda
C
-ixtiyoriy oʻzgarmas son.
Yuqoridagi (5) tenglikdan va (7) formuladan fordalanib, (1) differensial
tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
р ( )
p ( )
q ( )
x d x
x d x
y
e
C
x e
d x
−
=
+
.
Misol_1._𝑦_′_+_2𝑥𝑦_=_𝑥_∙_𝑒_−𝑥_2_differensial_tenglamani_yeching.__Yechish.'>Misol 1.
𝑦
′
+ 2𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒
−𝑥
2
differensial tenglamani yeching.
Yechish.
𝑦
′
+ 2𝑥𝑦 = 0 ⟹
𝑑𝑦
𝑦
= −2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑦| = −𝑥
2
+ 𝑐 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒
−𝑥
2
𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒
−𝑥
2
⟹ 𝐶 = 𝑢(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒
−𝑥
2
.
(𝑢 ∙ 𝑒
−𝑥
2
)
′
+ 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒
−𝑥
2
= 𝑥 ∙ 𝑒
−𝑥
2
.
𝑢
′
∙ 𝑒
−𝑥
2
+ 𝑢 ∙ (−2𝑥) ∙ 𝑒
−𝑥
2
+ 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒
−𝑥
2
= 𝑥 ∙ 𝑒
−𝑥
2
.
𝑢
′
= 𝑥 ⟹ 𝑢 =
1
2
𝑥
2
+ 𝐶
.
𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒
−𝑥
2
⟹ 𝑦 = (
1
2
𝑥
2
+ 𝐶) ∙ 𝑒
−𝑥
2
.
Misol
1
2
=
−
xy
y
differensial tenglamani yechimini toping.
Yechish.
1
)
(
,
2
)
(
=
−
=
x
q
x
x
p
.
p (
)
p (
)
2
2
q ( )
x d x
x d x
x d x
x d x
y
e
C
x e
d x
e
C
e
d x
−
−
=
+
=
+
=
=
(
)
2
2
х
х
e
C
e
d x
−
+
.
Umumiy yechim
(
)
2
2
х
х
y
e
C
e
d x
−
=
+
2
2
0
x
x
t
e
e
d t
C
−
−
=
+
.
(1) differensial tenglamaning
0
0
)
(
y
x
y
=
(8)
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qaraymiz.
Теорема
.
0
0
),
(
)
(
y
y
x
q
y
x
p
y
x
x
=
=
+
=
Koshi
masalasini
yechimi
0
0
0
(
)
(
)
(
)
0
( )
( t )
x
x
t
x
x
x
p u d u
p u d u
x
p u d u
x
y x
y e
e
q
e
d t
−
−
−
=
+
(9)
funksiyadir.
Agar (9) tenglikning oʻng tomonidagi ikkinchi hadni
0
0
(
)
(
)
( )
( t )
x
t
x
x
p u d u
x
p u d u
x
y x
e
q
e
d t
−
−
=
belgilab olsak, u holda
)
(
~
x
y
funksiya (1) differensial tenglamaning
0
)
(
~
0
=
x
y
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini beradi. Shuning uchun
(9) formula
0
(
)
( )
( )
x
x
p u d u
y x
С e
y x
−
=
+
(10)
koʻrinishni oladi. Bu esa bir jinsli boʻlmagan (1) differensial tenglamaning umumiy
yechimi bir jinsli (2) differensial tenglamaning
0
(
)
x
x
p u d u
С e
−
umumiy yechimi bilan
bir jinsli boʻlmagan (1) differensial tenglamaning
)
(
~
x
y
xususiy yechimining
yigʻindisidan iborat ekanligini koʻrsatadi.
Misol .
𝑦
′
+
𝑦
𝑥
− 2𝑒
𝑥
2
= 0, 𝑦(1) = 𝑒
Misol .
𝑦
′
−
2𝑦
𝑥+1
= (𝑥 + 1)
3
, 𝑦(0) =
1
2
Misol .
𝑦
′
+ 𝑦 ∙ 𝑡𝑔𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
3.Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Bernulli usuli
(1) tenglamaning yechimini
x
ning ikkita funksiyasining koʻpaytmasi shaklida
izlaymiz:
)
(
)
(
x
v
x
u
y
=
uv
y
=
. (11)
Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini esa (1)–
tenglama asosida aniqlanadi. (11) tenglikdan
y
ni hisoblaymiz:
v
u
v
u
y
+
=
.
y
va
y
ni (1) tenglamaga qoʻyamiz, natijada u quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
( )
( )
u v
u v
p x u v
q x
+
+
=
(12)
yoki
(
( ) )
( )
u v
u v
p x v
q x
+
+
=
. (13)
Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin boʻlgani uchun
v
funksiyani
qavs ichida turgan ifoda nolga teng boʻladigan qilib olamiz, ya’ni
( )
0
v
р x v
+
=
(14)
boʻlishini talab qilamiz. U holda
u
funksiyani topish uchun (13) tenglikdan
quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
( )
u v
q x
=
(15)
Dastlab, (14) tenglamadan
v
ni topamiz:
р ( )
x d x
v
C
e
−
=
.
(14) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning uchun C=1 deb
olamiz. U holda
р ( )
x d x
v
e
−
=
. (16)
v
ning bu topilgan ifodasini (15) tenglamaga qoʻyib,
u
funksiya uchun
oʻzgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
р (
( )
xd x
u
e
q x
−
=
.
Bu tenglamani yechamiz:
p (
)
q ( )
x d x
u
x e
d x
C
=
+
. (17)
(16) va (17) lar
u
va
v
ning
x
orqali ifodalarini beradi.
u
va
v
ni (11)ga qoʻyib,
berilgan chiziqli tenglamaning
p (
)
(
)
q ( )
x d x
P x d x
y
e
C
x e
d x
−
=
+
umumiy yechimini hosil qilamiz .
Misol .
𝑦
′
= 2𝑥(𝑥
2
+ 𝑦)
differensial tenglamani yeching.
Yechish.
1.
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣
2.
𝑢
′
𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣
′
− 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 2𝑥
3
⟹ 𝑢
′
𝑣 + 𝑢 ∙ (𝑣
′
− 2𝑥 ∙ 𝑣) = 2𝑥
3
3.
{𝑣
′
− 2𝑥𝑣 = 0
𝑢
′
𝑣 = 2𝑥
3
4.
𝑣
′
− 2𝑥𝑣 = 0 ⟹
𝑑𝑣
𝑣
= 2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑣| = 𝑥
2
⟹ 𝑣 = 𝑒
𝑥
2
,
bu bosqichda
𝑐 − qatnashmaydi
.
5.
𝑢
′
𝑣 = 2𝑥
3
⟹ 𝑢
′
∙ 𝑒
𝑥
2
= 2𝑥
3
⟹ 𝑢
′
= 2𝑥
3
∙ 𝑒
−𝑥
2
⟹
𝑢 = ∫ 2𝑥
3
∙ 𝑒
−𝑥
2
𝑑𝑥 = −𝑥
2
∙ 𝑒
−𝑥
2
− 𝑒
−𝑥
2
+ 𝑐
6.
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ 𝑦 = (−𝑥
2
∙ 𝑒
−𝑥
2
− 𝑒
−𝑥
2
+ 𝑐) ∙ 𝑒
𝑥
2
= −𝑥
2
− 1 + 𝑐 ∙ 𝑒
𝑥
2
-
umumiy yechim boʻladi.
Misol
1
2
=
−
xy
y
differensial tenglamani
0
)
0
(
=
y
boshlangʻich shartni
qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.
Yechish.
1
)
(
,
2
)
(
=
−
=
x
q
x
x
p
.
p (
)
p (
)
2
2
q ( )
x d x
x d x
x d x
x d x
y
e
C
x e
d x
e
C
e
d x
−
−
=
+
=
+
=
=
(
)
2
2
х
х
e
C
e
d x
−
+
.
Umumiy yechim
(
)
2
2
х
х
y
e
C
e
d x
−
=
+
2
2
0
x
x
t
e
e
d t
C
−
−
=
+
,
boshlangʻich shartdan foydalanib
C
topamiz:
0
~
~
0
0
0
0
2
=
+
=
−
C
C
dt
e
e
t
0
)
0
(
=
y
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechim
2
2
х
х
y
e
e
d x
−
=
2
2
0
x
x
t
e
e
d t
−
=
boʻladi.
Mavzu yuzasidan savоllar
1.Qanday differensial tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial
tenglama deyiladi?
2.Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish usullarini ayting.
3.Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishning Lagranj
(o‘zgarmasni variatsiyalash) usuli qanday?
4.Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishning Bernulli
(o‘rniga qo‘yish) usulida qanday almashtirish bajariladi?
Do'stlaringiz bilan baham: | 
