Masalalarga tatbiqi

---

3-mavzu. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA UNI 
YECHISHNING LAGRANJ VA BERNULLI USULLARI. AMALIY 
MASALALARGA TATBIQI 
Reja 
1.Chiziqli differensial tenglama. 
2.Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Lagranj (oʻzgarmasni
variyatsiyalash) usuli.
3.Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Bernulli usuli. 
Tayanch soʻz va iboralar.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama, bir 
jinsli boʻlmagan differensial tenglama,
 
Bernulli usuli 
 
1.Chiziqli differensial tenglama. 
Nоma’lum funksiya va uning hоsilasiga nisbatan chiziqli boʻlgan tenglamalar 
birinchi tartibli chiziqli
differensial tenglamalar
deb ataladi.
 
Ushbu 
( )
( )
y
р x y
q x
 +
=
(1) 
koʻrinishdagi tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu 
yerda 
р ( )
x
va 
q ( )
x
funksiyalar biror 
R
b
a

]
,
[
oraliqda aniqlangan va uzluksiz deb 
qaraladi. 
Agar 
q ( )
0 ,
[ , ]
x
x
a b


boʻlsa, (1) tenglamaga chiziqli bir jinsli boʻlmagan 
differensial tenglama deyiladi. Agar 
q ( )
0 ,
[ , ]
x
x
a b
=

boʻlsa, (1) tenglamaga 
chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi va ushbu 
( )
y
р x y
 = −
(2) 
koʻrinishni oladi. Bu esa oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. 
Koʻrinib turibdiki 
0
)
(
=
x
y
funksiya (2) differensial tenglamaning yechimidan 

---

iborat. Agar 
0
)
(

x
y
boʻlsa, (2) differensial tenglamani quyidagicha yozish 
mumkin: 
( )
d y
р x d x
y
= −
. 
Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab quyidagi 
1
ln
р ( )
ln
y
t d t
C
= −
+

(3) 
tenglikni olamiz. (3) tenglikdan 
р ( )
1
1
( )
e x p
р ( )
t d t
y x
C
t d t
C e
−



=
−
=





(4) 
formulani hosil qilamiz. Bu yerda
1
C
-ixtiyoriy oʻzgarmas son. 
(4) formula (2) koʻrinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechi- 
mini ifodalaydi. 
Bir jinsli boʻlmagan (1) koʻrinishdagi differensial tenglamaning umumiy 
yechimini topishning bir qancha usullari bor. Standart (1) koʻrinishda berilgan 
chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda 
yechishni koʻrib chiqamiz.