M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Dispersiya va uning xossalari. O’rtacha kvadratik chetlanish

Ko’pchilik amaliy jihatdan muhim bo’lgan hollarda tasodifiy miqdorning uning matematik kutilmasidan chetlanishi x-Mx ni baholash kerak bo’lib qoladi.

Dastlab bitta misol ko’ramiz. Ikkita x va h miqdor quyidagi taqsimot qatorlari bilan berilgan bo’lsin:

x ning qiymatlari 0,2 0,1 0,1 0,2

p(x) ehtimollar 0,25 0,25 0,25 0,25

x ning qiymatlari 50 40 40 50

p(x)ehtimollari0, 250, 250, 250, 25

Bu tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari bir xil va nolga teng ekaniga ishonch hosil qilish oson:

M(x)=(-0,25).0,25+(-0,1).0,25+0,1.0,25+0,2.0,25=0

M(h)=(-50).0,25+(-40).0,25+40.0,25+50.0,25=0

Biroq bu miqdorlar qiymatlarining ularning matematik kutilmasiga nisbatan tarqoqligi bir xil emas. Birinchi holda x tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar uning matematik kutilmasiga yasin, ikkinchi holda esa uzoq. Tasodifiy miqdor qiymatlarining uning matematik kutilmasi atrofida tarqoqligini (sochilishini) baholash uchun yangi sonli xarakteristika-dispersiya tushunchasi kiritiladi.

x tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(x) deb tasodifiy miqdorning uning matematik kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi.

D(x) = M[x-M(x)]² (34)

x₁,x₂,...,x_n siymatlarni mos ravishda p₁, p₂,...,p_n ehtimollar bilan sabul siluvchi x diskret tasodifiy misdor berilgan bo’lsin. Ravshanki, [x-M(x)]² tasodifiy misdor

[x₁-M(x)]², [x₂-M(x)]²,...,[x_n-M(x)]ⁿ

siymatlarni shu p₁,p₂,...,p_n ehtimollar bilan sabul siladi. Demak, diskret tasodifiy misdorning matematik kutilmasi ta'rifiga ko’ra suyidagiga egamiz:

D(x)=M[x-M(x)]² = [x_i-M(x)]² p_i (35)

Agar x tassimot zichligi j(x) bo’lgan uzluksiz tasodifiy misdor bo’lsa, u holda ta'rifga ko’ra

D(x) = [x‑ M(x)]² j(x)dx (36)

Dispersiya ta'rifini va matematik kutilma xossalarini e'tiborga olib, suyidagiga ega bo’lamiz:

D(x)=M[x-M(x)]² = M{x²-xM(x)+[M(x)]²} =M(x)²-M[xM(x)]+M[M(x)]²

M(x) ва [M(x)]² - o’zgarmas misdorlar bo’lgani uchun matematik kutilma xossalaridan foydalanib, topamiz:

M[x.M(x)]=M(x).M(x) ва M[M(x)]²=[M(x)]².

Демак,D(x)=M(x²)-2M(x)M(x)+[M(x)]² bu erdan, uzil-kesil ushbuni topamiz:

D(x) = M(x²)-[M(x)]² (37)

Endi dispersiyaning xossalarini qarab chisamiz.

2. 
   O’zgarmasning dispersiyasi nolga teng.
   

Isboti. X=C bo’lsin. (37) formulaga ko’ra

D(C) = M(C²) -[M(C)]² = C²-C²=0, chunki o’zgarmasning matematik kutilmasi shu o’zgaruvchining o’ziga teng:

M(C) = С, M(C²) = C².

2. o’zgarmas ko’paytuvchini dispersiya belgisi tashqarisiga uni kvadratga ko’tarib chiqarish mumkin.

D(kx) = k² D(x) (38)

bo’lgani uchun

D(kx) = k²{M(x²)^-[M(x)]²} = k² D(x)

3. Agar x va h erkli tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda bu miqdorlar yig’indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig’indisiga teng:

D(x+h) = D(x)+ D(h) (39)