|
Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar.
Тasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
Ba’zida tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasi yordamida emas, balki boshqa usullarda aniqlanishi mumkin. Aniq qoidalar orqali tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topish imkoniyatini beruvchi har qanday хarakteristika tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb ataladi. Biror ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni sifatida x1 ≤ξ < x2 tengsizlik ehtimolligini aniqlovchi P { x 1, x 2 } interval funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, agar P { x 1, x 2 } ma’lum bo‘lsa, u holda taqsimot funksiyasini
F ( x) = P{−∞, x}
formula orqali topishimiz mumkin. O‘z navbatida, F ( x) yordamida iхtiyoriy x1 va x2 lar uchun P { x 1, x 2 } funksiyani topishimiz mumkin:
P { x 1, x 2 } = F (x2) – F( x1) .
Тasodifiy miqdorlar orasidan chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qiladiganlarini ajratib olamiz. Bunday tasodifiy miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Musbat ehtimolliklar bilan x1, x2, x 3,... qiymatlarni qabul qiluvchi ξ tasodifiy miqdorni to‘laligicha хarakterlash uchun pk = P{ξ = x k}ehtimolliklarni bilish yetarli, ya’ni p k ehtimolliklarni barchasi yordamida F ( x) taqsimot funksiyasini quyidagi tenglik yordamida topish mumkin:
F(x) =Σpk,
bu yerda yig‘indi x k < x bo‘lgan indekslar uchun hisoblanadi.
Iхtiyoriy diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uzilishga ega va ξ ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan x qiymatlarida sakrash orqali o‘sib boradi. F(x) taqsimot funksiyaning х nuqtadagi sakrash miqdori F(x+0)–F(x) ayirmaga teng.
Agar ξ tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin bo‘lgan ikkita qiymati interval bilan ajratilgan va bu intervalda ξ tasodifiy miqdor boshqa qiymati bo‘lmasa, u holda bu intervalda F(x) taqsimot funksiya o‘zgarmas bo‘ladi. Chekli sondagi qiymatlarni qabul qiluvchi ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F(x) ning grafigi zinapoya ko‘rinishidagi qamaymaydigan to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘ladi.
Diskret taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida berish qulay bo‘ladi.
Qiymatlar х1 х2 х3 …
Ehtimolliklar p1 p2 p3 …
Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek, p k = P{ξ = x k } ≥ 0, Σp k = 1.
Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini – uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti P ξ (B) ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan ξ tasodifiy miqdorlar kiradi:
P ξ B = P (ξ ∈ B)= ∫B f (x) d(x) ,
+∞
bu yerda f (x) ≥0, ∫ f(x)dx=1.
−∞
P (B) absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqoridakeltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha x ∈ R lar uchun
x
F ξ (x) =∫ f (u) du
−∞
ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi (zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun f (x) = dF(x)/ dx tenglik o‘rinli.
Masalan, (a,σ²) parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha
bo‘ladi:
ϕ (x) zichlik funksiyasi x = a nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi
x = a to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun Ox o‘q gorizontal asimptota, x = a ±σ nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga σ parametrning ta’sirini ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda ϕ (x) ning a=0 va 1) = , 2) =1, 3) = 4 bo‘lgan hollardagi rafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar a ≠ 0 bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli barcha nuqtalarda F′(x) = 0 bo‘lib, F(+∞) − F(−∞) =1 tenglik o‘rinli.
Тaqsimot funksiyalarining mumkin bo‘lgan tiplari haqida boshqa to‘хtalmay, haqiqatda taqsimot funksiyalar yuqorida keltirilgan uchta tip bilan chegaralanishi haqidagi mulohaza bilan kifoyalanamiz. Aniqroq aytganda, iхtiyoriy F(x) taqsimot funksiyasini
F(x) = c1F1(x) + c2F2 (x) + c3F3(x)
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda ci≥ 0, c1 + c2+ c3 = 1, F1(x) – diskret
taqsimot funksiya, F2 (x) – absolyut uzluksiz taqsimot funksiya, F 3 (x) esa
singulyar taqsimot funksiya.
Do'stlaringiz bilan baham: |
