M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

1.5. Ehtimolning klassik ta'rifi

• 
  Yusorida aytilganidek, sinovlar soni n katta bo’lganda A hodisaning ro’y berish chastotasi R*(A)+m/n turg’unlikka (barsarorlikka) ega va A hodisa ehtimolining taqribiy siymatini beradi, ya'ni
  
• 
  R(A) o’ R*(A)
  
• 
  Bu hol, hodisa ehtimolini sinovlar yo’li bilan tasqriban topishga imkon beradi. Xodisa ehtimolini topishning bu usuli amalda har doim qulay emas. Bir qator hollarda hodisa ehtimolini sinovgacha hodisalarning teng ehtimollik (teng imkoniyatlilik) tushunchasidan foydalanib topishga erishiladi.
  
• 
  Agar hodisalarning har biri boshsa istalgan biriga qaraganda tezroq, ko’proq ro’y beradi deb hisoblashga hech qanday ob'ektiv sabablar bo’lmasa, bu hodisalar teng ehtimolli (yoki teng imkoniyatlilik deyiladi).
  
• 
  Masalan, tangani tashlashda gerbning yoki rasamli tomonining tushishi teng ehtimolli hodisalardir.
  
• 
  Boshqa misol ko’ramiz. o’yin xossasi tashlanayotgan bo’lsin. Xossa (kubik) simmetrik bo’lgani uchun 1,2,3,4,5 yoki 6 rasamlaridan istalgan birining tushishi bir holda mumkindir (teng ehtimolidir).
  
• 
  Agar sinov natijasida E1,E2,...,En hodisalarning kamida bittasi ro’y bersa, bu hodisalar mazkur sinovda to’lis guruhini tashkil etadi deyiladi.
  
• 
  Masalan, oxirgi misolda to’lis gruppa oltita hodisadan 1,2,3,4,5 va 6 rasamlarining tushishidan iboratdir.
  
• 
  Har qanday A hodisa va unga qarama-qarshi A hodisa to’liq gruppani tashkil etishi ravshandir.
  
• 
  Agar V hodisaning ro’y berishi A hodisaning ro’y berishiga olib kelsa, V hodisa A hodisaga imkon yaratuvchi hodisa deyiladi.
  
• 
  Masalan, agar A o’yin xossasini tashlashda juft sondagi ochkolarning tushishi bo’lsa, 4 rasamining tushishi A hodisaga imkon yaratuvchi hodisadan iborat bo’ladi.
  
• 
  E₁,E₂,...,E_n hodisalar mazkur sinovda teng ehtimolli va juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan to’lis guruh tashkil etsin. Ularni sinovlarning natijalari deb ataymiz. A hodisaga sinovninig m ta natijasiga imkon yaratuvchi bo’lsin deylik. U holda A hodisaninig mazkur sinovdagi ehtimoli deb m/n nisbatga aytiladi. Shunday qilib, ta'rifga kelamiz.
  
• 
  Ta'rif. A hodisaning mazkur sinovdagi R(A) ehtimoli deb A xodisaga imkon yaratuvchi sinov natijalari soni m ninig sinovning teng ehtimoli, juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan to’liq gruppasini tashkil etuvchi, mumkin bo’lgan natijalarining umumiy soni n ga nisbatiga aytiladi: R(A)+m/n
  
• 
  Ehtimolning bu ta'rifi ko’pincha klassik ta'rif deb ataladi. Klassik ta'rif ehtimolning aksiomalarini sanoatlantirishini ko’rsatish mumkin.
  
• 
  1 misol. Zavodga 1000 ta podshipnikdan iborat partiya keltirildi. Bu partiyaga tasodifan standartga javob bermaydigan 30 ta podshipnik aralashib solgan. Tavakkaliga olingan podshipnikning standart bo’lishi ehtimoli R(A) ni anislang.
  
• 
  Echilishi. Standart podshipniklar soni 1000-30+970 ta. Har bir podshipnikning olinish ehtimoli bir hil deb hisoblaymiz. U holda hodisalarning to’liq gruppasi n+1000 ta teng ehtimoli natijalardan iborat bo’lib, A hodisaga ulardan m+970 tasi imkon yaratadi. Shuning uchun R(A)+m/n+970/1000+0,97.
  
• 
  1-Masala Ikkita uyin soqqasi (kubik) tashlangan. Soqqalar tushgan yoqlaridagi ochkolar yigindisi juft son, shu bilan birga soqqalardan xech bulmaganda bittasining yog`ida olti ochko chiqish extimolini toping.
  
• 
  Yechilishi «Birinchi» uyin soqqasining tushgan yog`ida bir ochko, ikki ochko, …, olti ochko chiqishi mumkin. «Ikkinchi» soqqani tashlashda ham shunga o`xshash oltita elementar natija bulishi mumkin. «Birinchi» uyin soqqasini tashlash natijalarining xar biri «ikkinchi» soqqani tashlash natijalarining xar biri bilan birgalikda bulishi mumkin. Shunday qilib, sinovning mumkin bulgan elementar natijalarining jami soniga teng. Bu natijalar yagona mumkin bo`lgan va soqqalarning simmetrikligiga asosan teng imkonyatlidir.
  
• 
  Bizni qiziktirayotgan hodisaga (hech bo’lmaganda) bita yoqda olti ochko chiqadi, tushgan ochkolar yigindisi juft son) qulaylik tug`diruvchi natijalar
  
• 
  kuyidagi beshta natija bo`ladi (birinchi o`rinda «ikkinchi»sokkada tushgan ochkolar, ikkinchi o`rinda «ikkinchi» sokkada tushgan ochkolar yozilgan; so`ngra ochkolar yigidisi topilgan):
  

Izlanayotgan ehtimol hodisaga qulaylik tug`diruvchi natijalar sonining barcha mumkin bo`lgan elementar natijalar soniga teng:

• 2-Masala 21 ta standart va 10 ta nostandart detal solingan yashikni tashish vaqtida bitta detal yo`qolgan, ma'lum emas. Yashikdan (tashishdan keyin) tavvakaliga olingan detal standart detal bo`lib chiqdi: a) standart; b) nostandart detal; yo`qolgan bulish extimolini toping.

Yechilishi a) Ravshanki, olingan standart detal yo`qolgan bulishi mumkin emas, kolgan o`ttizta detalning (21+10-1+30) istalgan biri yo`qolgan bo`lishi mumkin, shu bilan birga ularning orasida 20 ta detal standartdir (21-1+20).

Standart detal yo`qolgan bo`lish ehtimolli:

b) Xar biri ham yoqolishi mumkin bo`lgan o`ttizta detal orasidagi 10 nostandart detal bor edi. No standart detal yoqolgan bulishi ehtimoli:

5. Uchta o`yin sokkasini tashlashda ikkita sokkaning (qaysilari bulishining axamiyati yo`q) yoqlarida turli(oltiga teng bulmagan) ochkolar chiqsa, qolgan bir sokkada olti ochko chiqish ehtimolini toping.

Yechilishi Sinovning elementar natijalari jami soni oltita elementdan uchtadan tuzish mumkin bo`lgan gruppalashlar soniga teng.

Bitta yoqda olti ochko va qolgan ikkita sokkaning yoqlarida turli (oltiga teng bo`lmagan) ochkolar chiqishiga qulaylik tug`diruvchi natijalar soni beshta elementdan ikkitadan tuzish mumkin bo`lgan gruppalashlar soniga, ya'ni ga teng.

Izlanayotgan ehtimol bizni qiziqtirayotgan xodisaga qulaylik tug`diruvchi natijalar sonining mumkinbo`lgan elementar natijalarning jami soniga teng:

11. Yashikda 1,2,…, 10 lar bilan nomerlangan 10 ta bir xil detal bor. Tavakkaliga 6 ta detal olingan.Olingan detallar orasida : a) № 1 detal; b) №1 va № 2 detallar bo’lish extimolini toping.

Yechilishi a) Sinovninig mumkin bo`lgan elementar natijalari jami soni o`nta detaldan 6 ta detalni olish usullari soniga, ya'ni ga teng.

Bizni qiziqtirayotgan xodisaga (olingan oltita detal orasida № 1 detal bor va, demak, qolgan 5 ta detal boshqa nomerli xodisaga) qulaylik tug`diruvchi natijalar sonini xisoblab chiqaylik. Bunday natijalar soni, ravshanki, qolgan to`qqizta detaldan 5 ta detalni olish usullari soniga, ya'ni ga teng.

Izlanayotgan extimol qaralayotgan xodisaga qulaylik tug’diruvchi natijalar sonining mumkin bo’lgan elementar natijalar jami soni nisbatiga teng:

б) Bizni qiziktirayotgan xodisaga (olingan detallar orasida

№ 1 va № 2 detallar bor, demak, 4 ta detal boshqa nomerli) qulaylik tug’diruvchi natijalar soni qolgan sakkizta detaldan 4 ta detalni olish usullari soniga, ya'ni ga teng.

Izlanayotgan ehtimol:

N ta detaldan iborat partiyada n ta standart detal bor. Tavakkaliga m ta detal olingan. Olingan detallar orasida rosa k ta standart detal bo’lish extimolini toping.

Yechilishi. Sinovning mumkin bo’lgan elementar natijalari jami soni N ta detaldan m ta detalni ajratib olish usullarini soniga, ya'ni N ta elementdan m tadan tuzish mumkin bo’lgan gruppalashlar soni ga teng.

Bizni qiziktirayotgan xodisaga (m ta detal orasida rosa k ta standart detal bor) qulaylik tug’diruvchi natijalar sonini xisoblaymiz: n ta standart detal orasida k ta standart detalni ta usul bilan olish mumkin; bunda kolgan m-k ta detal no standart bo’lishi lozim: m-k ta nostandart detalni esa N-n ta nostandart detal orasidan usul Bilan olish mumkin. Demak, qulaylik tug’diruvchi natijalar soni ga teng.

Izlanayotgan extimol xodisaga qulaylik tug’diruvchi natijalar soniga nisbatiga teng: