M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

23. Texnik kontrol bo’limii tasadifan ajratib olingan 100 kitobdan iborat partiyada 5 ta brak kitob topdi. Brak kitoblar chiqishi nisbiy chastotasini toping.

Yechilishi. A xodisaga (brak kitoblar chiqinshi) nisbiy chastotasi A xodisagaruy bergan sinovlar sonining o’tkazilgan sinovlar jami soniga nisbatiga teng:

Asboblar partiyasini sinov vaktida yaroqli detallarning nisbiy chastotasi 0,9 ga teng bulib chiqdi. Agar xammasi bo’lib 200 ta asbob sinalgan bo’lsa yaroqli asboblar sonini toping.

Javobi.

1- m i s o l. qutida 3 ta ok, 7 ta qora shar bor. Undan tavakkaliga olingan sharning oq shar bo'lishi extimolligini toping.

Yechish. A olingan shar oq ekanligi xodisasi bo'lsin. Mazkur sinov 10 ta teng imkoniyatli elementar xodisalardan iborat bo'lib, ularning 3 tasi A xodisaga qulaylik tug’diruvchidir. Demak ,

Р(А) = =0.3

2-mi sol. Guruxda 12 talaba bo'lib, ularning 8 nafari a'lochilar. Ro’yxat bo’yicha tavakkaliga 9 talaba tanlab olindi. Tanlab olinganlar ichida 5 talaba a'lochi talaba bo'lishi extimolligini toping.

Yechish. Sinovning barcha mumkin bo’lgan teng imkoniyatl elementar xodisalari soni С ga teng. Bularning ichidan С С tasi tanlab olingan talabalar ichidan 5 tasi a'lochi talabalar xodisasi (A) uchun qulaylik tug’diradi. Shuning uchun

Р(А)=
3-misol. Qirqma alifboning 10 ta xarfidan «matematika» so'zi tuzilgan. Bu xarflar tasodifan sochilib ketgan va qaytadan ixtiyoriy tartibda yiqilgan. Yana «matematika» so'zi hosil bo'lishi extimolligini toping.

Yechish. A — «Matematika» so'zi hosil bo'ldi xodisasi. Teng imkoniyatli mumkin bo'lgan elementar xodisalar soni p+10! bo'lib, A xodisaga qulaylik yaratuvchilari m+ 2! 3! 2! bo'ladi. Bu erda matematika so'zida «m» 2 marta, «a» 3 marta, «t» 2 marta takrorlanishi xisobga olinadi.

Р(А)=

4-misol. Telefonda nomer terayotgan abonent oxirgi ikki raqamni esdan chiqarib quydi va faqat bu raqamlar har xil ekanligini eslab qolgan holda ularni tavakkaliga terdi. Kerakli raqamlar terilganligi extimolligini toping.

Yechish. A — ikkita kerakli raqam terilganlik xodisasi bo'lsin. Hammasi bo'lib, o'nta raqamdan ikkitadan nechta o'rinlashtirishlar tuzish mumkin bo'lsa shuncha, ya'ni А = 10 9 = 90 ta turli raqamlarni terish mumkin. Shuning uchun klassik extimollikka ko'ra

Р(А)= =

5-misol. Frantsuz tabiatshunosi Byuffon (XVIII asr) tangani 4040 marta tashlagan va bunda 2048 marta gerbli tomon tushgan. Bu sinovlar majmuasida gerbli tomon tushishi chastotasini toping.
Yechish. W(A)= 0.50693

6-misol. R radiusli doiraga nuqta tavakkaliga tashlangan. Tashlangan nuqtaning doiraga ichki chizilgan muntazam uchburchak ichiga tushishi extimolligini toping.

Yechish. S(D —uchburchakning yuzi, S(D) —doiraning yuzi bo’lsin (63-shakl). A — nuqtaning uchburchakka tushishi xodisasi. U holda

Р(А)=

P(A) 0.4137
7- m i s o l. [O, 2] kesmadan tavakkaliga ikkita x va u sonlari tanlangan. Bu sonlar x 4y 4x tengsizlikni qanoatlantirishi ehtimolligini toping.
Yechish. (x, i) nuqtaning koordinatalari

0 x 2

0 y 2

tengsizliklar sistemasini qanoatlantiradi. Bu— (x, u) nuqta tomoni 2 ga teng kvadrat nuqtalari to'plamidan tavakkaliga tanlanishini bildiradi.

Bizni qiziktirayotgan A xodisa tanlanadigan (x, u) nuqta shtrixlangan figuraga tegishli bo'lgan holda va faqat shu holda ruy beradi (64-shakl). Bu figura koordinatalari x 4y 4x tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalarning to'plami sifatida hosil qilingan. Demak, izlanayotgan ehtimollik shtrixlangan figura yuzining kvadrat yuziga nisbatiga teng, ya'ni

Р(А)=

Demak , P(A) =

5.