|
To’plamlarda akslantirishlar, ularning xossalari funksiyalar akslantirish sifatida
1. Akslantirishlar
Akslantirish tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Akslantirishlar nazaryasida bir toʻplamning elementlarini ikkinchi toʻplamning elementlariga mos keltirish qonuniyatlari oʻrganiladi.
1-ta’rif. Bizga ikkita va toʻplamlar berilgan boʻlsin. Agar ma’lum bir qoida boʻyicha toʻplamdan olingan har bir elementiga toʻplamning yagona elementi mos qoʻyilgan boʻlsa, toʻplam toʻplamga aks ettirilgan deyiladi va bu munosabat
(1)
kabi yoziladi. Bunda toʻplam funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil topgan toʻplam funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni
Ba’zan (1) akslantirish toʻplamda aniqlangan va qiymatlari da boʻlgan funksiya deb ham ataladi. va toʻplamlarning tabiatiga qarab akslantirish- funksiya, funksional operator deb ham ataladi.
Misollar:
1. Agar haqiqiy sonlar toʻplami boʻlsa, u holda
funksiya ni ga akslantiradi.
2. Dirixle funksiyasi.
=
Haqiqiy sonlar toʻplamini va dan iborat toʻplamga akslantiradi.
3. toʻplamni toʻplamga oʻtkazuvchi barcha akslantirishlarni toping:
2) 3) 4)
Berilgan akslantirish berilgan boʻlsin. akslantirish yordamida toʻplamning elementga mos keluvchi yoʻplamning elementi elementning aksi (obrazi) deb ataladi va kabi belgilanadi. Masalan, akslantirishni olsak, u holda sonining tasviri ga teng, sonining tasviri esa ga teng boʻladi. Umuman, toʻplamning biror qismi berilgan boʻlsa, u holda toʻplam barcha elementlarining dagi tasvirlaridan iborat toʻplam ning akslantirishdagi tasviri (obrazi) deyiladi va kabi belgilanadi. Demak,
toʻplamning ixtiyoriy elementi berilgan boʻlsin. toʻplamning ga akslantiruvchi barcha elementlaridan iborat qismi elementning asli(proobrazi) deyiladi va kabi yoziladi. Umuman, ning qismi berilsa, ning toʻplamga oʻtuvchi qismi ning asli (proobrazi) deyiladi.
1-Teorema. va toʻplamlar birlashmasining asli, shu toʻplamlar asllari birlashmasiga teng :
Isbot. Faraz qilaylik , – ixtiyoriy element boʻlsin, u holda Bundan yoki munosabatlarning kamida bittasiga ega boʻlamiz. Bu esa ekanligini bildiradi. ning ixtiyoriyligiga koʻra
(2)
Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ixtiyoriy element boʻlsin. U holda yoki munosabatlarning kamida bittasiga ega boʻlamiz. Bu esa yoki munosabatlardan kamida bittasi oʻrinli ekanligini bildiradi. Demak, yoki boʻladi.
Bundan va ning ixtiyoriyligidan
(3)
munosabat kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlar teoremaning oʻrinli ekanligini koʻrsatadi.
Quyidagi teorema 1- teoremaga oʻxshash isbotlanadi.
2-teorema. va toʻplamlar kesishmasining asli shu toʻplamlar asllari kesishmasiga teng, ya’ni
Isbot. ixtiyoriy element boʻlsin, u holda , ya’ni va , shunday ekan, va , yani . Demak,
Endi boʻlsin, u holda va .bundan va ga yoki ga ega boʻlamiz. Demak, . Bu yerdan munosabat kelib chiqadi. Bu munosabatlardan 2-teorema toʻliq isbot boʻladi.
3-teorema. va toʻplamlar birlashmasining asli shu toʻplamlar asllari birlashmasiga teng, ya’ni
Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremalarning isboti kabi isbotlanadi.
1- , 2- va 3- teoremalar chekli yoki cheksiz sondagi toʻplamlar uchun ham oʻrinlidir, ya’ni
Agar toʻplamdagi har bir elementning asli boʻsh toʻplam boʻlmasa, ya’ni boʻlsa, u holda ga ustiga akslantirish yoki sur’yektiv akslantirish deyiladi.Agar toʻplamda shunday element mavjud boʻlib, uning asli boʻsh toʻplam boʻlsa, ya’ni boʻlsa , u holda ga ichiga akslantirish deyiladi.
Misol,uchun ni ga oʻtkazuvchi ,
Funksiyalarning birinchisi ustiga akslantirish, ikkinchisi esa ichiga akslantirish boʻladi.
Agar akslantirishda boʻlgan ixtiyoriy lar uchun munosabat bajarilsa u holda ga in’yektiv akslantirish deyiladi.
Agar akslantirish ham sur’ektiv, ham in’yektiv boʻlsa, u holda ga oʻzaro bir qiymatli akslantirish yoki biyektiv akslantirish deyiladi.
Misollar. 1. funksiya ni ga oʻzaro bir qiymatli akslantiradi.
orqali manfiy boʻlmagan haqiqiy sonlar toʻplamini belgilaymiz. funksiya ni ga ga oʻzaro bir qiymatli akslantirmaydi.Chunki , masalan -1 va 1 sonlarining tasviri 1 ga teng.
Bu yerda ga akslantirishning aniqlanish sohasi deyiladi va kabi belgilanadi.
Ushbu toʻplamiga akslantirishning qiymatlar sohasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi.
Ushbu toʻplamga akslantirishning grafigi deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
