Reja akslantirish tushunchasi

---

Akslantirishlar va funksiyalar. in’yeksiya, syur’yeksiva, biyektiv funksiyalar. 
 
REJA 
1.
 
Akslantirish tushunchasi. 
2.
 
Qisman funksiyaga tushunchasi. 
3.
 
Birga-bir yoki in’yektiv funksiya. 
4.
 
Syur’yektiv funksiya. 
5.
 
Biyektiv funksiya. 
6.
 
Funksiya kompozitsiyasi va uning xossalari. 
7.
 
n – o‘rinli funksiya va n-o‘rinli algebraik amal. 
 
 
Kalit so’zlar: funksiya, akslantirish, qisman funksiya, turli qiymatli in’yektiv 
funksiya, birga-bir funksiya, syur’yeksiya, biyeksiya, o’rin almashish, funksiya 
kompozitsiyasi, 
n-
o’rinli funksiya, 
n-
o’rinli algebraik amal,
 
 
Ta‘rif 1
B
A


f
munosabat uchun 
1) 
A
f
D
l
=
)
(
,
B
)
(

f
D
r
, 
2)
f
x

)
y
,
(
1
,
f
x
)
y
,
(
2

ekanligidan 
2
1
y
y
=
ekanligi kelib chiqsa
f
munosabatga A to‘plamdan B to‘plamga 
funksiya 
yoki 
akslantirish
deyiladi. 
Agar 
A
f
D
l
=
)
(
ni o‘rniga 
A
f
D
l

)
(
bajarilsa 
f
ga 
qisman funksiya
deyiladi.
A dan B ga funktsiya 
B
A
:
→
f
yoki 
B
A
f
⎯→
⎯
kabi belgilanadi, agar 
f
y
x

)
,
(
bo‘lsa, u holda 
)
(
x
f
y
=
yoki
y
x
:
→
f
kabi yoziladi va 
f
funktsiya x elementga y 
elementni mos qo‘yayapti deb o‘qiladi. 
Misol 1.
)}
2
,
3
(
),
3
,
2
(
),
2
,
1
{(
=
g
- munosabat 
funksiya
bo‘ladi. 
)}
3
,
2
(
),
3
,
1
(
),
2
,
1
{(
=
R
- munosabat funktsiya bo‘lmaydi. 
}
),
3
2
,
{(
2
R
x
x
x
x
f

+

−
=
- 
munosabat 
funktsiya 
bo‘ladi 
va
3
2
2
+

−
=
x
x
y
kabi belgilanadi. 
Ta’rif 2.
Agar 
1
−
f
munosabat qisman funktsiya bo‘lsa, ya’ni 
)
(
)
(
uchun
)
(
,
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
f
D
x
x
l




bajarilsa 
f
funktsiyaga 
turli 
qiymatli
in’yektiv (inyeksiya)
yoki 
birga- bir funksiya
deyiladi va 
B
f
⎯→
⎯
−
1
1
A
:
kabi belgilanadi. 
Ta’rif 3.
Agar 
B
)
(
=
f
D
r
bo‘lsa, 
B
A
:
→
f
funktsiya
A ning B ga funksiyasi
yoki 
syur’yektiv funksiyasi
(
syur’yeksiya
) deyiladi va
B
f
ni
⎯→
⎯
A
:
kabi 
belgilanadi.
Ta’rif 4.
Agar 
f
funktsiya A ni B ga turli qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda 
f
funktsiya A va B to‘plamlarning
o‘zaro bir qiymatli mosligi
yoki 
biyektiv 
funksiyasi
(
biyeksiyasi
) deyiladi.
Shunday qilib funksiya in’yektiv va syur’yektiv bo‘lsa, biyektsiya bo‘ladi va 
B
f
⎯→

A
:
kabi belgilanadi.

---

A
f
⎯→

A
:
biyektsiya A to‘plamni 
o‘rin almashishi
deyiladi. O‘rin 
almashishning eng sodda misoli bu 
A
id
funktsiya hisoblanadi. 
Misol 2.
4
3,
2,
,
1
1],
[0,
1]
[0,
:
=
→
i
f
i
.
A = [ 0, 1 ], B = [ 0, 1 ] bo‘lsin.
 
f
1
 – funksiya 
1]
[0,
B
)
(
1
=
=
f
D
r
bo‘lgani uchun syur’yektiv, 
2
1
x
x


topiladiki 

)
(
)
(
2
1
1
1
x
f
x
f
=
shuning uchun 
in’yektiv emas. 
f
2
 – funksiya
1]
[0,
1]
0,
[
:
2
⎯→

f
bo‘lgani uchun 
f
2 
- o‘rin 
almashtirish,
2
1
x
x


uchun 

)
(
)
(
2
2
1
2
x
f
x
f

shuning 
uchun in’yektiv,
1]
[0,
B
)
(
2
=
=
f
D
r
bo‘lgani uchun syur’yektiv. Ham in’yektiv, 
ham syur’yektiv bo‘lgani uchun biyektiv bo‘ladi. 
f
3
 – funksiya 
: 
2
1
x
x


uchun 

)
(
)
(
2
2
1
2
x
f
x
f

shuning uchun in’yektiv, lekin 
1]
[0,
B
)
(
1
=

f
D
r
bo‘lgani uchun syur’yektiv emas.
 
f
4 
– funksiya :
2
1
x
x


topiladiki 

)
(
)
(
2
1
1
1
x
f
x
f
=
shuning uchun in’yektiv emas, 
1]
[0,
B
)
(
4
=

f
D
r
bo‘lgani uchun syur’yektiv ham emas. 
Misol 3.
3,
2,
,
1
R,
R
:
=
→
i
f
i
funksiyalarni qaraylik. 
1) 
x
e
x
f
=
)
(
1
funksiya in’yektiv, lekin syur’yektiv emas. 
2)
x
x
x
f
sin
)
(
2

=
funksiya in’yektiv emas, lekin syur’yektiv. 
3)
1
*
2
)
(
3
−
=
x
x
f
funksiya ham in’yektiv, ham syur’yektiv shuning uchun 
biyektiv bo‘ladi. 
Teorema. 1) Agar
B
A
:
→
f
,
C
B
:
→
g
bo‘lsa, u holda 
C
A
:
→

g
f
2) Agar
 
B
A
:
→
f
bo‘lsa, u holda
f
id
f
f
f
id
B
A
=

=

,
 . 

3) Agar
 

B
f
ni
⎯→
⎯
A
:
,
C
g
ni
⎯→
⎯
B
:
bo‘lsa, u holda 
C
g
f
ni
⎯→
⎯

A
:
. 
4) Agar
f
va g – turli qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda 
g
f

- turli 
qiymatli akslantirish bo‘ladi. 
5) Agar 
B
f
⎯→

A
:
, 
C
g
⎯→

B
:
bo‘lsa, u holda
C
g
f
⎯→


A
:
bo‘ladi. 
6) Agar
B
f
⎯→

A
:
bo‘lsa, u holda 
A
f
⎯→

−
B
:
1
, 
A
id
f
f
=

−
1
,
B
id
f
f
=

−
1
. 
Agar
f
- akslantirish va 
)
(
f
D
X
l

bo‘lsa, u holda 
}
X
x
:
)
(
{

x
f
to‘plam X 
to‘plamning 
f
akslantirishi natijasida tasviri deyiladi va 
f
(X) kabi belgilanadi. 
B
N
:
→
f
funksiya ketma-ketlik deyiladi va uni
.....
(2),
),
1
(
f
f
yoki b
1
, b
2
, ...., b
n
, 
...b
n
)
(
n
f

,
N
n

kabi belgilanadi. 
A ni B ga akslantiruvchi barcha funksiyalar to‘plami B
A
bilan belgilanadi. 
}
:
:
{
B
A
f
f
B
A
→
=
. 

---

B
A
:
n
→
f
funksiya A dan B ga 
n-
o‘rinli funksiya
deyiladi, agar 
y
- 
n
- o‘rinli 
f
funksiyaning (x
1
, x
2
,...., x
n
) argument qiymatidagi qiymati bo‘lsa
)
,....,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
y
=
kabi yoziladi. 
A
A
:
n
→
f
funksiya A to‘plamda
 n - o‘rinli
algebraik amal
deyiladi. 
1
=
n
da 
f
- 
unar amal
, 
2
=
n
da 
f
- binar amal
deyiladi. 
0
=
n
bo‘lganda 
A
A
:
0
→
f
amal {( 
Ø,
a
)} biror bir 
A
a

uchun bo‘ladi. Ko‘p hollarda A da 0-o‘rinli amal {( Ø,
a
)} ni A 
da 
konstanta
deb ataladi va 
a  
element bilan ifodalanadi.
Misol 4. 
Haqiqiy sonlarni qo‘shish amali 2 o‘rinli ya‘ni binar amal 
R
R
→
+
2
:
bo‘ladi, chunki bir juft (
a, b
) songa 
a+b
sonni mos qo‘yadi. 
R – to‘plamning ixtiyoriy ajratib ko‘rsatilgan elementi, masalan 
2
0-o‘rinli 
amaldir, ya’ni R da konstantadir. 
Ta’rif 5. 
{0, 1} qiymatlardan ixtiyoriy birini qabul qiladigan funksiyaga 
binar 
funksiya
deyiladi. 

Mantiq algebrasida binar funksiyalar

 predikatlar 
yoki
 fikrlar funksiyalari 
deb 
qaraladi va ularning qiymatlari mos ravishda
 “yolg‘on” 
yoki
 “rost” 
deb 
interpretatsiyalanadi.
Misol 5.
Aytaylik 
B
A

4
4

elementlar dekart ko‘paytmasi va 
B
A
y
x



,
bo‘lsin Ф(z) (z=) funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: 



=
=
holda
aks
bolsa
y
x
agar
z
Ф
_
_
,
0
,
_
_
_
,
1
)
(
Ф(z) fikrlar funksiyaning 1 ga teng bo‘ladigan qiymatlarini aniqlaydigan  lar 
to‘plamini Z deb olsak, u holda Z={<1,1>, <2,2>, <3,3>, <4,4>} bo‘lib, X ni Y ga 
chiziqli biyeksiyasini tashkil qiladi.
 
 
 
Nazorat savollari 
 
1.
Akslantirish tushunchasiga ta’rif bering? 
2.
Qisman funksiyaga tushunchasi. Bering? 
3.
Birga-bir yoki in’yektiv funksini ta’riflang? 
4.
Syur’yektiv funksiyaga ta’rif bering? 

---

5.
Biyektiv funksiyaga ta’rif bering? 
6.
Funksiya kompozitsiyasi va uning xossalarini keltiring? 
7.
n –
o‘rinli funksiya va 
n-o
‘rinli algebraik amal tushunchalarini keltiring? 
 
ADABIYOTLAR 
1. 
Т.А. Азларов ва бошк. Математикадан кулланма. «Укитувчи» нашриёти, Т., 1990.-352б. 
2. 
Ф.А.Новиков. Дискретная математика для программистов. ЗАО Издательский дом 
«Питер», 2007 
3. 
Г.П.Гаврилов, А.А.Сапоженко Задачи и упражнения по дискретной математике. –
М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.-416с. 
4. 
Я.М. Еруссалимский. Дискретная математика теория, задачи, приложения. –М.: 
«Вузовская книга», 2002.-268с. 
5. 
И.И.Ежов и др. Элементы комбинаторики. –М.: «Наука», 1977.-80с. 
6. 
С.Ю. Кулабухов. Дискретная математика. Таганрог, 2001. 150с. 
7. 
Г.Г.Асеев и др. Дискретная математика. Учебное пособие.-Ростов н/Д. 2003.-144с. 
INTERNET SAXIFALARI 
1.
www.intuit.ru/department/ds/discrmath/
2.
http://www.uni-dubna.ru/~mazny/kurses/odm/lekcii/
 
3.
http://www.lvf2004.com/dop_t2r1part2.html
 
4.
http://www.mielt.ru/dir/cat14/subj266/file292.html
 
5.
http://window.edu.ru/window/catalog?p_rid=28455
 
6.
http://lib.rus.ec/b/259478
 
7.
www.doc.ic.ac.uk/~iccp/papers/
discrete
94.pdf
 
8. 
http://calvino.polito.it/~tilli/matdiscreta/Discrete%20Mathematics.html