Ma’ruza-2: Akslantirishlar

3. Sanoqsiz toʻplamlar. Kantor-Bernshteyn teoremasi

Sanoqli boʻlmagan cheksiz toʻplamga sanoqsiz toʻplam deyiladi.

Bizga ma’lumki, agar va toʻplamlar oʻrtasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, u holda va lar ekvivalent toʻplamlar deyiladi va kabi yoziladi.
Toʻplamlarning ekvivalentligi tushunchasini ham chekli toʻplamlar, ham cheksiz toʻplamlar uchun qoʻllash mumkin. Ikkita chekli toʻplam ekvivalent boʻlishi uchun ularning elementlari soni teng boʻlishi zarur va yetarli
Ba’zida chekiz toʻplamlar oʻzining biror xos qism toʻplamga ekvivalent boʻladi. Masalan, butun sonlar toʻplami va natural sonlar toʻplami ekvivalent, sonlar oʻqi esa ga ekvivalent.

1. 
   tasdiq. Ixtiyoriy cheksiz toʻplam oʻzining biror xos qism toʻplamiga ekvivalent boʻladi.
   

1. 
   teorema. kesmadagi haqiqiy sonlar toʻplami sanoqsizdir.
   

Isboti. Faraz qilaylik, kesmada yotuvchi haqiqiy sonlardan tuzilgan sanoqli toʻplam berilgan boʻlsin.
U holda





Bu yerda soning - oʻnli raqami.
Endi 0 va 9 raqamlarga teng boʻlmagan raqamlar ketma – ketligini quyidagi usulda aniqlaymiz. raqam ga teng emas, raqam ga teng emas, va hokazo raqam ga teng emas, va hokazo. Tanlangan raqamlar yordamida ga tegishli boʻlgan kasrni aniqlaymiz. Aniqlanishiga koʻra, soni kasirlarning birortasiga ham teng emas, chunki soni dan birinchi raqami bilan, dan ikkinchi raqami bilan va hokazo dan – raqami bilan farq qiladi. Shunday qilib, [0,1] kesma elementlaridan tashkil topgan hech bir sanoqli toʻplam ni toʻliq qoplay olmaydi. Teorema isbotlandi.
Ta’rif. kesma va unga ekvivalent boʻlgan toʻplamlar kontinuum quvvatli toʻplamlar deyiladi.
Shunday qilib, kesma sanoqsiz boʻlgan toʻplamga misol boʻladi.
Kontinuum quvvatli toʻplamga toʻplamlar misol boʻla oladi.
2- teorema. (Kantor- Bernshteyn) Ixtiyoriy va cheksiz toʻplamlar berilgan boʻlsin. Agar toʻplamni toʻplamning qismiga biektiv akslantiruvchi akslantirish va toʻplamning toʻplamning qism toʻplamiga biektiv akslantiruvchi akslantirish mavjud boʻlsa, u holda va toʻplamlar ekvivalentdir.
Isbot. Umumiylikni buzmagan holda va toʻplamlar kesishmaydi deb faraz qilamiz. Ixtiyoriy elementni olamiz va ketma - ketlikni quyidagicha aniqlaymiz. Agar toʻplamda shartni qanoatlantiruvchi element mavjud boʻlsa, uni bilan belgilaymiz. Agar toʻplamga tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjud boʻlsa, uni bilan belgilaymiz. Aytaylik, element aniqlangan boʻlsin. Agar juft boʻlsa, u holda orqali dagi shunday elementni tanlaymizki, shart bajarilsin, agar toq boʻlsa, dagi shunday elementki, shart bajarilsin.Bu yerda 2 hol boʻlishi mumkin.
1. Biror ga koʻrsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi element mavjud boʻlmaydi. Bu holda nomer elementning tartib soni deyiladi.
2. Cheksiz ketma - ketlikka ega boʻlamiz. Bu holda elementning tartibi cheksiz deyiladi.
Endi toʻplamni uchta toʻplamga ajratamiz. Juft tartibli elementlardan tashkil topgan, qism toʻplamini orqali, toq tartibli elementlardan tashkil topgan qism toʻplamni orqali va cheksiz tartibli elementlardan tashkil topgan qism toʻplamni bilan belgilaymiz. toʻplamni ham xuddi shunday qismlarga ajratamiz. Koʻrinib turibdiki, ni ga va ni ga akslantiradi, akslantirish esa ni ga akslantiradi. Shunday qilib

akslantirish toʻplamni toʻplamga biektiv akslantiriladi. Teorema isbotlandi.